Poissonin suhde ν – määritelmä, kaava, arvot ja merkitys

Poissonin suhde ν on yksi perussuureista, jotka kuvaavat materiaalien elastiset ominaisuudetMäärittelee suhteen seuraavien välillä: poikittainen venymä ja pitkittäinen venymä materiaali yksiaksiaalisen veto- tai puristussuunnassa elastisella alueella.
Kun näytettä venytetään, sen pituus kasvaa, kun taas sen poikittaismitat tyypillisesti pienenevät. Puristuksen aikana tapahtuu päinvastoin – näyte lyhenee ja sen poikittaismitat tyypillisesti kasvavat. Poissonin luku kuvaa näiden mittamuutosten välistä suhdetta.
Poissonin suhdetta merkitään kreikkalaisella kirjaimella ν (nu) vitsailen dimensioton suure.

Mitä Poissonin suhde tarkoittaa?

Yksiaksiaalisen venytyksen aikana materiaali muuttaa muotoaan voiman suunnassa. Samanaikaisesti tapahtuu muodonmuutosta poikittaissuunnassa.
Jos sauvaa venytetään akselinsa suuntaisesti:

sen pituus kasvaa,
sen leveys tai halkaisija yleensä pienenee.

Poissonin suhde määrittää näiden kahden venymän suhteen elastisella alueella.

Poissonin luvun kaava

Poissonin suhde voidaan kirjoittaa muodossa:
ν = -ε_poikittainen /ε_pitkulainen
missä:

ν – Poissonin suhde,
ε_poikittainen – suhteellinen muodonmuutos poikittaissuunnassa,
ε_pitkulainen – suhteellinen muodonmuutos kuormituksen suunnassa.

Miinusmerkki johtuu siitä, että tyypillisen venytyksen aikana pitkittäissuuntainen venymä on positiivinen ja poikittaissuuntainen venymä negatiivinen.
Käyttämällä miinusmerkkiä useimpien yleisimpien metallien Poissonin luku saa positiivisen arvon.

Esimerkki Poissonin luvun laskemisesta

Oletetaan, että näytettä venytettäessä sen pituussuuntainen venymä on:
ε_pitkulainen = 0,001
kun taas poikittainen muodonmuutos:
ε_poikittainen = -0,0003
Poissonin suhde on:
ν = -(-0,0003 / 0,001) = 0,30
Tämä tarkoittaa, että poikittaisvenymän itseisarvon suhde pituussuuntaiseen venymään on tässä tapauksessa 0,30.

Onko Poissonin luvulla yksikköä?

Poissonin luvulla ei ole yksikköä.
Sekä poikittais- että pitkittäisvenymä ovat suhteellisia suureita, joten niiden osamäärä on dimensioton.
Siksi ν:tä ei anneta MPa:na, GPa:na tai prosentteina.
Esimerkkimerkintä näyttää tältä:
ν = 0,30

Tyypilliset Poissonin luvun arvot metalleille

Monien metallien Poissonin luku huoneenlämmössä on noin välillä 0,25–0,35 . Tarkka arvo riippuu kuitenkin materiaalista, sen rakenteesta, mittaussuunnasta, lämpötilasta ja käytetystä testausmenetelmästä.

jutut	Likimääräinen Poissonin suhde ν
Hiili- ja seosteräkset	noin 0,27–0,30
Ruostumattomat teräkset	noin 0,27–0,31
alumiini ja hänen jalkansa	noin 0,32–0,35
Titaani ja hänen jalkansa	noin 0,30–0,35
kupari- ja hänen jalkansa	noin 0,30–0,35
Nikkeli i hänen jalkansa	noin 0,29–0,32

Taulukon arvot ovat suuntaa antavia . Suunnittelulaskelmien tulee perustua materiaali-, lämpötila- ja olosuhdekohtaisiin tietoihin.

Mitä ν = 0,30 fysikaalisesti tarkoittaa?

Wartość:
ν = 0,30
tarkoittaa, että elastisella alueella poikittaisvenymän itseisarvo on noin 30 % pituussuuntaisesta venymästä yksiaksiaalisen kuormituksen aikana.
Jos pitkittäissuuntainen muodonmuutos on:
ε = 0,1 %
niin arvolla ν = 0,30 poikittaisvenymä on suunnilleen:
ε_poikittainen = -0,03 %
Miinusmerkki osoittaa poikittaismitan pienenemistä venytyksen aikana.

Poissonin suhde puristuksen aikana

Suhde toimii myös elastisen funktion aikana puristaminen.
Jos näytettä puristetaan akselinsa suuntaisesti:

sen pituus lyhenee,
poikittaismitat yleensä kasvavat.

Poissonin luku kuvaa myös näiden venymien välistä suhdetta, edellyttäen että materiaali on sopivalla elastisella alueella.

Poissonin suhde ja Youngin moduuli E

Poissonin suhde ν ja Youngin moduuli E kuvaavat materiaalin erilaisia elastisia ominaisuuksia.

Parametri	Mitä se kuvaa?	Yksikkö
E	Jännityksen ja pitkittäisvenymän välinen suhde lineaarisella elastisella alueella	GPa
ν	Poikittais- ja pitkittäisvenymän välinen suhde	ilman yksikköä

Youngin moduuli määrittää ensisijaisesti materiaalin jäykkyyden veto- tai puristussuunnassa , kun taas Poissonin suhde määrittää, miten pitkittäiseen muodonmuutokseen liittyy muutos poikittaismitoissa.

Poissonin suhde ja Kirchhoffin moduuli G

Homogeeniselle, isotrooppiselle lineaarisesti elastiselle materiaalille Poissonin suhde liittyy Youngin moduuliin E ja Kirchhoffin moduuli G riippuvuus:
G = E / (2(1 + ν))
Riippuvuus voidaan muuttaa myös muotoon:
ν = E / (2G) – 1
missä:

E - Youngin moduuli,
G - Kirchhoffin moduuli eli leikkausmoduuli,
ν – Poissonin suhde.

Tämä tarkoittaa, että isotrooppisen lineaarisesti elastisen materiaalin tapauksessa kahden näistä parametrista tunteminen mahdollistaa kolmannen määrittämisen.

Esimerkki teräksen E-, G- ja ν-suhteista

Oletetaan ohjeeksi:
E = 210 GPa
ja:
ν = 0,30
Sitten:
G = 210 / (2 × (1 + 0,30))
G = 210 / 2,6 ≈ 80,8 GPa
Saatu arvo vastaa teräksen leikkausmoduulin tyypillistä suuruusluokkaa.

Poissonin suhde ja tilavuuden muutos

Poissonin suhde liittyy myös materiaalin tilavuuden muutokseen elastisen muodonmuutoksen aikana.
Isotrooppisen lineaarisesti elastisen materiaalin tapauksessa ν:n arvo lähestyy 0,5 tarkoittaa lähes kokoonpuristumatonta käyttäytymistä, eli tilavuuden muutos on hyvin pieni muodonmuutoksen aikana.
Tyypillisillä elastisen alueen metalleilla on ν-arvot huomattavasti alle 0,5.

Mitä arvoja Poissonin suhde voi saada?

Klassisen lineaarisen elastisuusteorian kuvaaman stabiilin, homogeenisen ja isotrooppisen materiaalin Poissonin suhde on välillä:
-1 < ν < 0,5
Useimpien yleisten metallien Poissonin luku on positiivinen, noin 0,3.
On kuitenkin olemassa materiaaleja aiheesta negatiivinen Poissonin luku, joita kutsutaan aukseettisiksi materiaaleiksi.

Mitä ovat aukseettiset materiaalit?

Auseettiset materiaalit niille on ominaista negatiivinen Poissonin luku.
Tämä tarkoittaa, että ne käyttäytyvät epätavallisesti: venytettäessä ne voivat suurentaa poikittaismittaansa pienenemisen sijaan, ja puristettaessa ne voivat kapeutua poikittaissuunnassa.
Tällaiset ominaisuudet voivat johtua muun muassa materiaalin erityisestä mikrorakenteesta tai geometriasta.
Tyypillisillä teräksillä ja useimmilla tavanomaisilla metalleilla ei ole tätä makroskooppista käyttäytymistä standardiolosuhteissa.

Poissonin suhde ja bulkkimoduuli K

Poissonin suhde liittyy myös volumetrinen moduuli K, joka kuvaa materiaalin vastustuskykyä elastiselle tilavuuden muutokselle.
Isotrooppiselle materiaalille:
K = E / (3(1 – 2ν))
missä:

K – volumetrinen moduuli,
E - Youngin moduuli,
ν – Poissonin suhde.

Kun ν lähestyy arvoa 0,5, bulkkimoduuli kasvaa suhteessa E:hen, mikä vastaa materiaalin yhä pienempää alttiutta tilavuuden muutokselle.

Poissonin luku ja materiaalin lujuus

ν ei ole materiaalin lujuuden mitta.
Ei täsmennä:

Kahdella materiaalilla voi olla samanlainen Poissonin luku, mutta silti hyvin erilaiset lujuusominaisuudet.

Poissonin suhde ja plastinen venymä

Materiaalilaskelmissa käytetty Poissonin luvun klassinen arvo viittaa ensisijaisesti elastinen alue.
Kun materiaali siirtyy suurten plastisten muodonmuutosten alueelle, sen käyttäytymistä ei voida kuvata yksinkertaisesti soveltamalla lineaarisesta elastisuusteoriasta johdettua vakioarvoa ν.
Plastisuusanalyyseissä käytetään sopivia konstitutiivisia malleja kuvaamaan materiaalin käyttäytyminen elastisen alueen ulkopuolella.

Mistä Poissonin suhde riippuu?

ν:n arvo riippuu muun muassa seuraavista tekijöistä:

materiaalin tyyppi ja sen rakenne,
lämpötila,
mittaussuunta anisotrooppisissa materiaaleissa,
kuormitustaajuudet tietyissä dynaamisissa menetelmissä,
mittauksen suorittamisen edellytykset.

Monilla tyypillisillä metalleilla standardilämpökäsittelystä johtuvat ν:n muutokset ovat paljon pienempiä kuin parametrien, kuten Rm:n , Re:n tai Rp0,2:n, muutokset.

Poissonin suhde ja lämpötila

Poissonin suhde voi vaihdella lämpötilan mukaan.
Sovelluksissa, jotka vaativat tarkkoja laskelmia, erityisesti korkeissa tai erittäin matalissa lämpötiloissa, on käytettävä asianmukaiselle lämpötila-alueelle määritettyjä materiaalitietoja.
Huoneenlämmössä määritettyä ν-arvoa ei pidä automaattisesti olettaa kaikissa käyttöolosuhteissa.

Poissonin suhde anisotrooppisissa materiaaleissa

Täydellisesti isotrooppisessa materiaalissa Poissonin luvun yhtä arvoa voidaan käyttää kuvaamaan sen elastista käyttäytymistä.
Materiaaleissa anisotrooppinen Tilanne on monimutkaisempi. Poikittaisvenymä voi riippua kuormituksen kohdistussuunnasta ja mittaussuunnasta.
Tällaisissa tapauksissa eri materiaalisuuntiin voi liittyä erilaisia Poissonin lukuja.
Tämä on tärkeää muun muassa yksittäiskiteille, erittäin teksturoituneille materiaaleille ja komposiiteille.

Miten Poissonin suhde määritetään?

Poissonin suhde voidaan määrittää aikana kontrolloitu näytteen lataus samanaikaisella mittauksella pitkittäinen ja poikittainen muodonmuutos.
Mittauksiin voidaan käyttää muun muassa seuraavia:

ekstensometrit
sähkövastusvenymäanturit,
optiset venymänmittausjärjestelmät,
dynaamiset menetelmät, jotka hyödyntävät elastisten aaltojen ominaisuuksia.

Menetelmän valinta riippuu materiaalista, vaaditusta tarkkuudesta ja testausolosuhteista.

Miksi Poissonin suhde on tärkeä?

Poissonin lukua käytetään materiaalien mekaniikassa ja rakennelaskelmissa, koska yhteen suuntaan kohdistuva kuormitus aiheuttaa myös muodonmuutoksia poikittaissuunnissa.
Parametri ν on tärkeä muun muassa seuraaville:

jännitys- ja venymätilan analyysi,
rakenneosien laskelmat,
kontaktianalyysi,
painelaskelmat,
kolmiulotteinen muodonmuutosanalyysi,
äärellisten elementtien mallinnus (FEM/FEM),
materiaalin elastisten vakioiden välisen suhteen määrittäminen.

FEM-ohjelmissa Poissonin suhde annetaan usein yhdessä Youngin moduulin kanssa perustietojoukkona, joka määrittelee isotrooppisen materiaalin lineaarisen elastisen käyttäytymisen.

Tarkoittaako suurempi Poissonin luku parempaa materiaalia?

Ei. Poissonin suhde ei ole kvalitatiivinen parametri.
Suurempi tai pienempi ν-arvo osoittaa poikittais- ja pitkittäisvenymän suhteen erilaisen. Se ei kuitenkaan tarkoita, että materiaali olisi vahvempaa, kovempaa, sitkeämpää tai kestävämpää vaurioita vastaan.
ν:n arvoa tulisi käsitellä yhtenä seuraavista: materiaalin elastista käyttäytymistä kuvaavat vakiot.

Poissonin suhde ν – tärkein tieto

ν tarkoittaa Poissonin suhdetta.
Kuvaa poikittais- ja pitkittäisvenymän suhdetta kimmoalueella.
Kaava on seuraava: ν = -ε_poikittainen /ε_pitkulainen.
Poissonin suhde on dimensioton.
Monille metalleille ν on noin 0,3.
Venytettäessä tyypillinen metalli pitenee kuormituksen suuntaan ja kapenee poikittaissuunnassa.
ν ei ole lujuuden, kovuuden tai myötölujuuden mitta.
Isotrooppisen lineaarisesti elastisen materiaalin tapauksessa ν on matemaattisesti yhteydessä Youngin moduuliin E ja Kirchhoffin moduuli G.
E:n, G:n ja ν:n välinen suhde on muotoa G = E / (2(1 + ν)).
Lähellä 0,5 olevat ν:n arvot vastaavat lähes kokoonpuristumatonta käyttäytymistä.
Materiaaleja, joilla on negatiivinen Poissonin luku, kutsutaan aukseettisiksi materiaaleiksi.
Anisotrooppisissa materiaaleissa Poissonin suhde voi riippua suunnasta.
FEM-laskelmissa Poissonin lukua käytetään usein yhdessä Youngin moduulin kanssa.