Poissons förhållande ν – definition, formel, värden och betydelse

Poissons förhållande ν är en av de grundläggande kvantiteterna som beskriver elastiska egenskaper hos materialDefinierar förhållandet mellan tvärgående töjning och longitudinell töjning material under enaxlig spänning eller kompression i det elastiska området.
När ett prov sträcks ökar dess längd, medan dess tvärgående dimensioner vanligtvis minskar. Under kompression sker det motsatta – provet förkortas och dess tvärgående dimensioner ökar vanligtvis. Poissons förhållande beskriver förhållandet mellan dessa dimensionsförändringar.
Poissons förhållande betecknas med en grekisk bokstav ν (nu) och är dimensionslös kvantitet.

Vad betyder Poissons förhållande?

Under enaxlig sträckning deformeras materialet i kraftens riktning. Samtidigt sker deformation i tvärriktningen.
Om stången sträcks längs sin axel:

dess längd ökar,
dess bredd eller diameter minskar vanligtvis.

Poissons förhållande definierar förhållandet mellan dessa två töjningar i det elastiska området.

Poissons förhållandeformel

Poissons förhållande kan skrivas som:
ν = -ε_tvärgående / ε_avlång
där:

ν – Poissons förhållande,
ε_tvärgående – relativ deformation i tvärriktningen,
ε_avlång – relativ deformation i lastens verkningsriktning.

Minustecknet beror på att under typisk sträckning är den longitudinella töjningen positiv medan den tvärgående töjningen är negativ.
Genom att använda minustecknet antar Poissons förhållande för de flesta vanliga metaller ett positivt värde.

Exempel på beräkning av Poissons förhållande

Låt oss anta att när provet sträcks är dess longitudinella töjning:
ε_avlång = 0,001
medan den transversella deformationen:
ε_tvärgående = -0,0003
Poissons förhållande är:
ν = -(-0,0003 / 0,001) = 0,30
Detta innebär att förhållandet mellan det absoluta värdet av den tvärgående töjningen och den longitudinella töjningen är i detta fall 0,30.

Har Poissons förhållande en enhet?

Poissons förhållande har ingen enhet.
Både tvärgående och longitudinella töjning är relativa storheter, därför är deras kvot dimensionslös.
Därför anges inte ν i MPa, GPa eller procent.
Ett exempelinlägg ser ut så här:
ν = 0,30

Typiska Poisson-förhållandevärden för metaller

För många metaller ligger Poisson-förhållandet vid rumstemperatur ungefär i intervallet 0,25–0,35 . Det exakta värdet beror dock på materialet, dess struktur, mätriktningen, temperaturen och den testmetod som används.

stuff	Ungefärlig Poissons förhållande ν
Kol- och legeringsstål	cirka 0,27–0,30
Rostfritt stål	cirka 0,27–0,31
Aluminium och hans fötter	cirka 0,32–0,35
Titan och hans fötter	cirka 0,30–0,35
koppar och hennes fötter	cirka 0,30–0,35
Nikiel i hans fötter	cirka 0,29–0,32

Värdena i tabellen är vägledande . Konstruktionsberäkningar bör baseras på data specifika för materialet, temperaturen och tillståndet.

Vad betyder ν = 0,30 fysikaliskt?

Värde:
ν = 0,30
innebär att i det elastiska området är det absoluta värdet av den tvärgående töjningen cirka 30 % av den longitudinella töjningen under enaxlig belastning.
Om den longitudinella deformationen är:
ε = 0,1 %
då vid ν = 0,30 blir den tvärgående töjningen ungefär:
ε_tvärgående = -0,03 %
Minustecknet indikerar en minskning av den tvärgående dimensionen under sträckning.

Poissons förhållande under kompression

Relationen fungerar även under elastisk klämma.
Om provet komprimeras längs sin axel:

dess längd minskar,
tvärgående dimensioner ökar vanligtvis.

Poissons förhållande beskriver också förhållandet mellan dessa töjningar, förutsatt att materialet ligger inom lämpligt elastiskt område.

Poissons förhållande och Youngs modul E

Poissons förhållande ν och Youngs modul E beskriver olika elastiska egenskaper hos ett material.

Parameter	Vad beskriver den?	Enhet
E	Samband mellan spänning och longitudinell töjning i det linjärelastiska området	GPa
ν	Sambandet mellan tvärgående och longitudinell töjning	utan en enhet

Youngs modul bestämmer primärt ett materials styvhet vid dragning eller kompression , medan Poissons förhållande bestämmer hur longitudinell deformation åtföljs av en förändring i tvärgående dimensioner.

Poissons förhållande och Kirchhoffs modul G

För ett homogent, isotropiskt linjärelastiskt material är Poissons förhållande relaterat till Youngs modul E och Kirchhoffs modul G beroende:
G = E / (2(1 + ν))
Beroendet kan också omvandlas till formen:
ν = E / (2G) – 1
där:

E - Youngs modul,
G - Kirchhoffs modul, dvs. skjuvmodul,
ν – Poissons förhållande.

Detta innebär att för ett isotropiskt linjärelastiskt material möjliggör kunskap om två av dessa parametrar bestämning av den tredje.

Exempel på E-, G- och ν-förhållandena för stål

Låt oss anta som vägledning:
E = 210 GPa
och:
ν = 0,30
Sedan:
G = 210 / (2 × (1 + 0,30))
G = 210 / 2,6 ≈ 80,8 GPa
Det erhållna värdet motsvarar den typiska storleksordningen för skjuvmodulen för stål.

Poissons förhållande och volymförändring

Poissons förhållande är också relaterat till förändringen i ett materials volym under elastisk deformation.
För ett isotropiskt linjärelastiskt material närmar sig värdet på ν 0,5 betyder beteende nära inkompressibelt, d.v.s. mycket liten volymförändring under deformation.
Typiska metaller i det elastiska området har ν-värden betydligt mindre än 0,5.

Vilka värden kan Poissons förhållande anta?

För ett stabilt, homogent och isotropiskt material som beskrivs av den klassiska linjära elasticitetsteorin ligger Poissons förhållande i intervallet:
-1 < ν < 0,5
De flesta vanliga metaller har ett positivt Poisson-förhållande på cirka 0,3.
Det finns dock material om negativt Poisson-förhållande, kallade auxetiska material.

Vad är auxetiska material?

Auxetiska material kännetecknas av ett negativt Poisson-tal.
Det betyder att de beter sig ovanligt: när de sträcks kan de öka sin tvärgående dimension istället för att minska den, och när de komprimeras kan de smalna av i tvärriktningen.
Sådana egenskaper kan bland annat bero på materialets specifika mikrostruktur eller geometri.
Typiska stål och de flesta konventionella metaller uppvisar inte detta makroskopiska beteende under standardförhållanden.

Poissons förhållande och bulkmodul K

Poissons förhållande är också relaterat till volymetrisk modul K, som beskriver ett materials motstånd mot elastisk volymförändring.
För isotropiskt material:
K = E / (3(1 – 2ν))
där:

K – volymetrisk modul,
E - Youngs modul,
ν – Poissons förhållande.

När ν närmar sig 0,5 ökar bulkmodulen i förhållande till E, vilket motsvarar materialets allt lägre känslighet för volymförändringar.

Poissons förhållande och materialstyrka

ν är inte ett mått på materialets hållfasthet.
Specificerar inte:

Två material kan ha ett liknande Poisson-förhållande och ändå mycket olika hållfasthetsegenskaper.

Poissons förhållande och plastisk deformation

Det klassiska värdet för Poissons förhållande som används i materialberäkningar avser främst elastiskt intervall.
När ett material väl inträder i intervallet för stora plastiska deformationer kan dess beteende inte beskrivas enbart genom att tillämpa ett konstant värde på ν härlett från den linjära elasticitetsteorin.
Vid plastiska analyser används lämpliga konstitutiva modeller för att beskriva materialbeteende utanför det elastiska området.

Vad beror Poissons förhållande på?

Värdet på ν beror bland annat på:

materialtyp och dess struktur,
temperatur,
mätriktning i anisotropa material,
belastningsfrekvenser i specifika dynamiska metoder,
förutsättningarna för att utföra mätningen.

För många typiska metaller är förändringarna i ν som resulterar från standardvärmebehandling mycket mindre än förändringarna i parametrar som Rm , Re eller Rp0,2.

Poissons förhållande och temperatur

Poissons förhållande kan variera med temperaturen.
För tillämpningar som kräver noggranna beräkningar, särskilt vid höga eller mycket låga temperaturer, bör materialdata specificerade för lämpligt temperaturområde användas.
Värdet på ν bestämt vid rumstemperatur bör inte automatiskt antas för alla driftsförhållanden.

Poissons förhållande i anisotropa material

I ett perfekt isotropiskt material kan ett enda värde av Poissons förhållande användas för att beskriva dess elastiska beteende.
I materialen anisotropisk Situationen är mer komplex. Tvärgående töjning kan bero på lastens appliceringsriktning och den riktning i vilken den mäts.
I sådana fall kan det finnas olika Poisson-förhållanden associerade med olika materialriktningar.
Detta är viktigt bland annat för enkristaller, högtexturerade material och kompositer.

Hur bestäms Poissons förhållande?

Poissons förhållande kan bestämmas under kontrollerad provladdning genom samtidig mätning longitudinell och tvärgående deformation.
Följande kan bland annat användas för mätningar:

extensometrar,
elektriska resistansmätare,
optiska töjningsmätningssystem,
dynamiska metoder med hjälp av elastiska vågors egenskaper.

Valet av metod beror på materialet, den erforderliga noggrannheten och testförhållandena.

Varför är Poissons förhållande viktigt?

Poissons förhållande används i materialmekanik och strukturella beräkningar eftersom belastning i en riktning också orsakar deformationer i tvärriktningarna.
Parametern ν är viktig bland annat för:

analys av spännings- och töjningstillstånd,
beräkningar av strukturella element,
kontaktanalys,
tryckberäkningar,
tredimensionell deformationsanalys,
finita elementmodellering (FEM/FEM),
bestämma förhållandet mellan ett materials elastiska konstanter.

I FEM-program ges Poissons förhållande ofta tillsammans med Youngs modul som en grundläggande uppsättning data som definierar det linjär-elastiska beteendet hos ett isotropiskt material.

Betyder ett större Poisson-förhållande ett bättre material?

Nej. Poissons förhållande är inte en kvalitativ parameter.
Ett större eller mindre värde på ν indikerar ett annat förhållande mellan tvärgående och longitudinell töjning. Det indikerar dock inte att materialet är starkare, hårdare, mer duktilt eller mer motståndskraftigt mot skador.
Värdet på ν bör behandlas som ett av konstanter som beskriver materialets elastiska beteende.

Poissons förhållande ν – den viktigaste informationen

ν betyder Poissons förhållande.
Beskriver förhållandet mellan tvärgående och longitudinell töjning i det elastiska området.
Formeln är följande: ν = -ε_tvärgående / ε_avlång.
Poissons förhållande är dimensionslös.
För många metaller är ν ungefär 0,3.
När den sträcks förlängs typisk metall i belastningsriktningen och smalnar av i tvärriktningen.
ν är inte ett mått på hållfasthet, hårdhet eller sträckgräns.
För ett isotropiskt linjärelastiskt material är ν matematiskt relaterat till Youngs modul E och Kirchhoffs modul G.
Sambandet mellan E, G och ν har formen G = E / (2(1 + ν)).
Värden på ν nära 0,5 motsvarar beteende nära inkompressibelt.
Material med negativt Poisson-förhållande kallas auxetiska material.
I anisotropa material kan Poissons förhållande bero på riktning.
I FEM-beräkningar används ofta Poissons förhållande tillsammans med Youngs modul.