Poissonovo razmerje ν – definicija, formula, vrednosti in pomen

Poissonovo razmerje ν je ena od osnovnih količin, ki opisujejo elastične lastnosti materialovDoloča odnos med prečna in vzdolžna deformacija material med enoosno napetostjo ali stiskanjem v elastičnem območju.
Ko se vzorec raztegne, se njegova dolžina poveča, medtem ko se njegove prečne dimenzije običajno zmanjšajo. Med stiskanjem se zgodi nasprotno – vzorec se skrajša, njegove prečne dimenzije pa se običajno povečajo. Poissonovo razmerje opisuje razmerje med temi dimenzijskimi spremembami.
Poissonovo razmerje označujemo z grško črko ν (nu) in je brezdimenzijska količina.

Kaj pomeni Poissonovo razmerje?

Med enoosnim raztezanjem se material deformira v smeri sile. Hkrati se deformacija pojavi tudi v prečni smeri.
Če je palica raztegnjena vzdolž svoje osi:

njegova dolžina se poveča,
njegova širina ali premer se običajno zmanjša.

Poissonovo razmerje določa razmerje teh dveh deformacij v elastičnem območju.

Formula za Poissonovo razmerje

Poissonovo razmerje lahko zapišemo kot:
ν = -ε_prečno /ε_podolgovat
pri čemer je:

ν – Poissonovo razmerje,
ε_prečno – relativna deformacija v prečni smeri,
ε_podolgovat – relativna deformacija v smeri delovanja obremenitve.

Predznak minus izhaja iz dejstva, da je med tipičnim raztezanjem vzdolžna deformacija pozitivna, prečna deformacija pa negativna.
Z uporabo znaka minus Poissonovo razmerje za večino običajnih kovin dobi pozitivno vrednost.

Primer izračuna Poissonovega količnika

Predpostavimo, da je pri raztezanju vzorca njegova vzdolžna deformacija:
ε_podolgovat = 0,001
medtem ko je prečna deformacija:
ε_prečno = -0,0003
Poissonovo razmerje je:
ν = -(-0,0003 / 0,001) = 0,30
To pomeni, da je razmerje med absolutno vrednostjo prečne in vzdolžne deformacije v tem primeru 0,30.

Ali ima Poissonovo razmerje enoto?

Poissonovo razmerje nima enote.
Tako prečna kot vzdolžna deformacija sta relativni količini, zato je njun količnik brezdimenzijski.
Zato ν ni podan v MPa, GPa ali odstotkih.
Primer vnosa je videti takole:
ν = 0,30

Tipične vrednosti Poissonovega količnika za kovine

Za številne kovine je Poissonovo število pri sobni temperaturi približno v območju od 0,25 do 0,35 . Vendar pa je natančna vrednost odvisna od materiala, njegove strukture, smeri merjenja, temperature in uporabljene preskusne metode.

stvari	Približno Poissonovo razmerje ν
Ogljikova in legirana jekla	približno 0,27–0,30
Nerjaveča jekla	približno 0,27–0,31
Aluminij in njegove noge	približno 0,32–0,35
Titan in njegove noge	približno 0,30–0,35
baker in njene noge	približno 0,30–0,35
Nikelj i njegove noge	približno 0,29–0,32

Vrednosti v tabeli so okvirne . Izračuni načrtovanja morajo temeljiti na podatkih, specifičnih za material, temperaturo in stanje.

Kaj fizikalno pomeni ν = 0,30?

Vrednost:
ν = 0,30
pomeni, da je v elastičnem območju absolutna vrednost prečne deformacije približno 30 % vzdolžne deformacije med enoosno obremenitvijo.
Če je vzdolžna deformacija:
ε = 0,1 %
potem bo pri ν = 0,30 prečna deformacija približno:
ε_prečno = -0,03 %
Znak minus označuje zmanjšanje prečne dimenzije med raztezanjem.

Poissonovo razmerje med kompresijo

Razmerje deluje tudi med elastičnostjo stiskanje.
Če je vzorec stisnjen vzdolž svoje osi:

njegova dolžina se zmanjša,
prečne dimenzije se običajno povečajo.

Poissonovo razmerje opisuje tudi razmerje med temi deformacijami, pod pogojem, da je material v ustreznem elastičnem območju.

Poissonovo razmerje in Youngov modul E

Poissonov količnik ν in Youngov modul E opisujeta različne elastične lastnosti materiala.

Parameter	Kaj opisuje?	enota
E	Razmerje med napetostjo in vzdolžno deformacijo v linearno-elastičnem območju	GPa
ν	Razmerje med prečno in vzdolžno deformacijo	brez enote

Youngov modul v prvi vrsti določa togost materiala pri nategu ali stiskanju , medtem ko Poissonovo razmerje določa, kako vzdolžno deformacijo spremlja sprememba prečnih dimenzij.

Poissonovo razmerje in Kirchhoffov modul G

Za homogen, izotropen linearno elastičen material je Poissonovo razmerje povezano z Youngovim modulom E in Kirchhoffov modul G odvisnost:
G = E / (2(1 + ν))
Odvisnost lahko pretvorimo tudi v obliko:
ν = E / (2G) – 1
pri čemer je:

E - Youngov modul,
G - Kirchhoffov modul, tj. strižni modul,
ν – Poissonovo razmerje.

To pomeni, da pri izotropnem linearnoelastični materialu poznavanje dveh od teh parametrov omogoča določitev tretjega.

Primer razmerij E, G in ν za jeklo

Za vodilo predpostavimo:
E = 210 GPa
oraz:
ν = 0,30
Potem:
G = 210 / (2 × (1 + 0,30))
G = 210 / 2,6 ≈ 80,8 GPa
Dobljena vrednost ustreza tipičnemu redu velikosti strižnega modula za jeklo.

Poissonovo razmerje in sprememba prostornine

Poissonovo število je povezano tudi s spremembo volumna materiala med elastično deformacijo.
Za izotropni linearnoelastični material se vrednost ν približuje 0,5 pomeni obnašanje blizu nestisljivega, tj. zelo majhna sprememba prostornine med deformacijo.
Tipične kovine v elastičnem območju imajo vrednosti ν bistveno manjše od 0,5.

Katere vrednosti lahko sprejme Poissonovo razmerje?

Za stabilen, homogen in izotropen material, ki ga opisuje klasična linearna teorija elastičnosti, je Poissonovo razmerje v območju:
-1 < ν < 0,5
Večina običajnih kovin ima pozitivno Poissonovo število, ki znaša približno 0,3.
Vendar pa obstajajo gradiva o negativno Poissonovo število, imenovane avksetične snovi.

Kaj so avksetični materiali?

Avksetični materiali so značilni po negativnem Poissonovem količniku.
To pomeni, da se obnašajo nenavadno: ko se raztegnejo, lahko povečajo svojo prečno dimenzijo namesto da bi jo zmanjšali, ko pa se stisnejo, se lahko v prečni smeri zožijo.
Takšne lastnosti so lahko med drugim posledica specifične mikrostrukture ali geometrije materiala.
Tipična jekla in večina običajnih kovin v standardnih pogojih ne kažejo tega makroskopskega vedenja.

Poissonovo razmerje in modul stisljivosti K

Poissonovo razmerje je povezano tudi z volumetrični modul K, ki opisuje odpornost materiala na elastično spremembo volumna.
Za izotropni material:
K = E / (3(1 – 2ν))
pri čemer je:

K – volumetrični modul,
E - Youngov modul,
ν – Poissonovo razmerje.

Ko se ν približa 0,5, se modul stisljivosti poveča glede na E, kar ustreza vse manjši občutljivosti materiala na spremembo volumna.

Poissonovo razmerje in trdnost materiala

ν ni merilo trdnosti materiala.
Ne določa:

Dva materiala imata lahko podobno Poissonovo število, a zelo različne trdnostne lastnosti.

Poissonovo število in plastična deformacija

Klasična vrednost Poissonovega količnika, ki se uporablja pri izračunih materialov, se nanaša predvsem na elastični razpon.
Ko material enkrat vstopi v območje velikih plastičnih deformacij, njegovega obnašanja ni mogoče opisati zgolj z uporabo konstantne vrednosti ν, ki izhaja iz linearne teorije elastičnosti.
Pri plastičnih analizah se za opis uporabljajo ustrezni konstitutivni modeli obnašanje materiala zunaj elastičnega območja.

Od česa je odvisno Poissonovo število?

Vrednost ν je med drugim odvisna od:

vrsta materiala in njegova struktura,
temperatura,
smer merjenja v anizotropnih materialih,
frekvence obremenitev pri specifičnih dinamičnih metodah,
pogoji za izvedbo meritve.

Pri mnogih tipičnih kovinah so spremembe ν, ki nastanejo zaradi standardne toplotne obdelave, veliko manjše od sprememb parametrov, kot so Rm , Re ali Rp0,2.

Poissonovo razmerje in temperatura

Poissonovo razmerje se lahko spreminja s temperaturo.
Za aplikacije, ki zahtevajo natančne izračune, zlasti pri visokih ali zelo nizkih temperaturah, je treba uporabiti podatke o materialu, določene za ustrezno temperaturno območje.
Vrednost ν, določena pri sobni temperaturi, se ne sme samodejno predpostavljati za vse obratovalne pogoje.

Poissonovo razmerje v anizotropnih materialih

V popolnoma izotropnem materialu lahko za opis njegovega elastičnega obnašanja uporabimo eno samo vrednost Poissonovega količnika.
V materialih anizotropno Situacija je bolj zapletena. Prečna deformacija je lahko odvisna od smeri delovanja obremenitve in smeri, v kateri se meri.
V takih primerih so lahko Poissonova razmerja povezana z različnimi smermi materiala.
To je med drugim pomembno za monokristale, visoko teksturirane materiale in kompozite.

Kako se določi Poissonovo razmerje?

Poissonovo razmerje je mogoče določiti med nadzorovano nalaganje vzorca s sočasnim merjenjem vzdolžna in prečna deformacija.
Za meritve se lahko med drugim uporabijo:

ekstenzometri,
električni uporovni merilniki napetosti,
sistemi za merjenje optičnih deformacij,
dinamične metode, ki uporabljajo lastnosti elastičnih valov.

Izbira metode je odvisna od materiala, zahtevane natančnosti in preskusnih pogojev.

Zakaj je Poissonovo razmerje pomembno?

Poissonovo razmerje se uporablja v mehaniki materialov in konstrukcijskih izračunih, ker obremenitev v eni smeri povzroča deformacije tudi v prečnih smereh.
Parameter ν je med drugim pomemben za:

analiza napetostnega in deformacijskega stanja,
izračuni konstrukcijskih elementov,
analiza stikov,
izračuni tlaka,
tridimenzionalna deformacijska analiza,
modeliranje končnih elementov (FEM/FEM),
določanje razmerja med elastičnimi konstantami materiala.

V programih FEM je Poissonovo razmerje pogosto podano skupaj z Youngovim modulom kot osnovni nabor podatkov, ki definirajo linearno-elastično obnašanje izotropnega materiala.

Ali večje Poissonovo razmerje pomeni boljši material?

ne. Poissonovo razmerje ni kvalitativni parameter.
Večja ali manjša vrednost ν kaže na različno razmerje med prečno in vzdolžno deformacijo. Vendar to ne pomeni, da je material močnejši, trši, bolj duktilen ali bolj odporen na poškodbe.
Vrednost ν je treba obravnavati kot eno od konstante, ki opisujejo elastično obnašanje materiala.

Poissonovo razmerje ν – najpomembnejša informacija

ν pomeni Poissonovo razmerje.
Opisuje razmerje med prečno in vzdolžno deformacijo v elastičnem območju.
Formula je naslednja: ν = -ε_prečno /ε_podolgovat.
Poissonovo razmerje je brezdimenzijski.
Za mnoge kovine je ν približno 0,3.
Pri raztezanju se tipična kovina podaljša v smeri obremenitve in zoži v prečni smeri.
ν ni merilo trdnosti, trdote ali meje tečenja.
Za izotropni linearno elastični material je ν matematično povezan z Youngovim modulom E in Kirchhoffov modul G.
Razmerje med E, G in ν ima obliko G = E / (2(1 + ν)).
Vrednosti ν blizu 0,5 ustrezajo obnašanju, ki je blizu nestisljivemu.
Materiali z negativnim Poissonovim količnikom se imenujejo avksetični materiali.
V anizotropnih materialih je Poissonovo razmerje lahko odvisno od smeri.
V izračunih z metodo končnih elementov se Poissonovo razmerje pogosto uporablja skupaj z Youngovim modulom.