Λόγος Poisson ν – ορισμός, τύπος, τιμές και σημασία

Λόγος Poisson ν είναι μία από τις βασικές ποσότητες που περιγράφουν ελαστικές ιδιότητες των υλικώνΟρίζει τη σχέση μεταξύ εγκάρσια παραμόρφωση και διαμήκης παραμόρφωση υλικό κατά τη διάρκεια μονοαξονικής εφελκυσμού ή συμπίεσης στην ελαστική περιοχή.
Όταν ένα δείγμα τεντώνεται, το μήκος του αυξάνεται, ενώ οι εγκάρσιες διαστάσεις του συνήθως μειώνονται. Κατά τη συμπίεση, συμβαίνει το αντίθετο—το δείγμα μικραίνει και οι εγκάρσιες διαστάσεις του συνήθως αυξάνονται. Ο λόγος Poisson περιγράφει τη σχέση μεταξύ αυτών των διαστατικών αλλαγών.
Η αναλογία Poisson συμβολίζεται με ένα ελληνικό γράμμα ν (nu) και είναι αδιάστατη ποσότητα.

Τι σημαίνει ο λόγος Poisson;

Κατά τη μονοαξονική τάνυση, το υλικό παραμορφώνεται προς την κατεύθυνση της δύναμης. Ταυτόχρονα, η παραμόρφωση συμβαίνει και στην εγκάρσια κατεύθυνση.
Αν η ράβδος τεντωθεί κατά μήκος του άξονά της:

το μήκος του αυξάνεται,
το πλάτος ή η διάμετρός του συνήθως μειώνεται.

Ο λόγος Poisson ορίζει τον λόγο αυτών των δύο παραμορφώσεων στο ελαστικό εύρος.

Τύπος αναλογίας Poisson

Ο λόγος Poisson μπορεί να γραφτεί ως εξής:
ν = -ε_{εγκάρσιος} / ε_{επιμήκης}
όπου:

ν – Ο λόγος Poisson,
ε_{εγκάρσιος} – σχετική παραμόρφωση στην εγκάρσια κατεύθυνση,
ε_{επιμήκης} – σχετική παραμόρφωση προς την κατεύθυνση της δράσης του φορτίου.

Το αρνητικό πρόσημο προκύπτει από το γεγονός ότι κατά τη διάρκεια της τυπικής έκτασης η διαμήκης παραμόρφωση είναι θετική ενώ η εγκάρσια παραμόρφωση είναι αρνητική.
Χρησιμοποιώντας το πρόσημο μείον, ο λόγος Poisson για τα περισσότερα κοινά μέταλλα λαμβάνει θετική τιμή.

Παράδειγμα υπολογισμού του λόγου Poisson

Ας υποθέσουμε ότι όταν το δείγμα τεντώνεται, η διαμήκης παραμόρφωσή του είναι:
ε_{επιμήκης} = 0,001
ενώ η εγκάρσια παραμόρφωση:
ε_{εγκάρσιος} = -0,0003
Ο λόγος Poisson είναι:
ν = -(-0,0003 / 0,001) = 0,30
Αυτό σημαίνει ότι ο λόγος της απόλυτης τιμής της εγκάρσιας παραμόρφωσης προς τη διαμήκη παραμόρφωση είναι σε αυτή την περίπτωση 0,30.

Έχει μονάδα ο λόγος Poisson;

Ο λόγος Poisson δεν έχει μονάδα.
Τόσο η εγκάρσια όσο και η διαμήκης παραμόρφωση είναι σχετικές ποσότητες, επομένως το πηλίκο τους είναι αδιάστατο.
Επομένως, το ν δεν δίνεται σε MPa, GPa ή ποσοστό.
Ένα παράδειγμα καταχώρησης μοιάζει με αυτό:
ν = 0,30

Τυπικές τιμές λόγου Poisson για μέταλλα

Για πολλά μέταλλα, ο λόγος Poisson σε θερμοκρασία δωματίου κυμαίνεται περίπου στο εύρος 0,25–0,35 . Ωστόσο, η ακριβής τιμή εξαρτάται από το υλικό, τη δομή του, την κατεύθυνση μέτρησης, τη θερμοκρασία και τη μέθοδο δοκιμής που χρησιμοποιείται.

υλικό	Κατά προσέγγιση λόγος Poisson ν
Χάλυβες άνθρακα και κράματα	περίπου 0,27–0,30
Ανοξείδωτοι χάλυβες	περίπου 0,27–0,31
Αλουμίνιο και τα πόδια του	περίπου 0,32–0,35
Τιτάνιο και τα πόδια του	περίπου 0,30–0,35
χαλκός και τα πόδια της	περίπου 0,30–0,35
Νικέλιο i τα πόδια του	περίπου 0,29–0,32

Οι τιμές στον πίνακα είναι ενδεικτικές . Οι υπολογισμοί σχεδιασμού θα πρέπει να βασίζονται σε δεδομένα που αφορούν συγκεκριμένα το υλικό, τη θερμοκρασία και την κατάσταση.

Τι σημαίνει φυσικά ν = 0,30;

Αξία:
ν = 0,30
σημαίνει ότι στο ελαστικό εύρος η απόλυτη τιμή της εγκάρσιας παραμόρφωσης είναι περίπου 30% της διαμήκους παραμόρφωσης κατά τη διάρκεια μονοαξονικής φόρτισης.
Εάν η διαμήκης παραμόρφωση είναι:
ε = 0,1%
τότε στο ν = 0,30 η εγκάρσια παραμόρφωση θα είναι περίπου:
ε_{εγκάρσιος} = -0,03%
Το πρόσημο μείον υποδεικνύει μείωση της εγκάρσιας διάστασης κατά τη διάρκεια της διάτασης.

Λόγος Poisson κατά τη συμπίεση

Η σχέση λειτουργεί επίσης κατά τη διάρκεια της ελαστικότητας πίεση.
Αν το δείγμα συμπιεστεί κατά μήκος του άξονά του:

το μήκος του μειώνεται,
οι εγκάρσιες διαστάσεις συνήθως αυξάνονται.

Ο λόγος Poisson περιγράφει επίσης τη σχέση μεταξύ αυτών των παραμορφώσεων, υπό την προϋπόθεση ότι το υλικό βρίσκεται στο κατάλληλο εύρος ελαστικότητας.

Λόγος Poisson και μέτρο ελαστικότητας Young E

Ο λόγος Poisson ν και το μέτρο ελαστικότητας Young E περιγράφουν διάφορες ελαστικές ιδιότητες ενός υλικού.

Παράμετρος	Τι περιγράφει;	Τζενντόσκα
E	Σχέση μεταξύ τάσης και διαμήκους παραμόρφωσης στο γραμμικό-ελαστικό εύρος	GPa
ν	Η σχέση μεταξύ εγκάρσιας και διαμήκους παραμόρφωσης	χωρίς μονάδα

Το μέτρο ελαστικότητας Young καθορίζει κυρίως την ακαμψία ενός υλικού σε εφελκυσμό ή θλίψη , ενώ ο λόγος Poisson καθορίζει πώς η διαμήκης παραμόρφωση συνοδεύεται από μια αλλαγή στις εγκάρσιες διαστάσεις.

Λόγος Poisson και μέτρο αντοχής Kirchhoff G

Για ένα ομογενές, ισότροπο γραμμικά ελαστικό υλικό, ο λόγος Poisson σχετίζεται με το μέτρο ελαστικότητας Young E και Μέτρο Kirchhoff G εξάρτηση:
G = E / (2(1 + ν))
Η εξάρτηση μπορεί επίσης να μετατραπεί στη μορφή:
ν = E / (2G) – 1
όπου:

E - Μέτρο Young,
G - Μέτρο ελαστικότητας Kirchhoff, δηλαδή μέτρο διάτμησης,
ν – Ο λόγος Poisson.

Αυτό σημαίνει ότι για ένα ισότροπο γραμμικά-ελαστικό υλικό, η γνώση δύο από αυτές τις παραμέτρους επιτρέπει τον προσδιορισμό της τρίτης.

Παράδειγμα των σχέσεων E, G και ν για χάλυβα

Ας υποθέσουμε για καθοδήγηση:
E = 210 GPa
oraz:
ν = 0,30
Τότε:
G = 210 / (2 × (1 + 0,30))
G = 210 / 2,6 ≈ 80,8 GPa
Η τιμή που λαμβάνεται αντιστοιχεί στην τυπική τάξη μεγέθους του μέτρου διάτμησης για τον χάλυβα.

Λόγος Poisson και μεταβολή όγκου

Ο λόγος Poisson σχετίζεται επίσης με την αλλαγή στον όγκο ενός υλικού κατά την ελαστική παραμόρφωση.
Για ένα ισότροπο γραμμικά ελαστικό υλικό, η τιμή του ν πλησιάζει 0,5 σημαίνει συμπεριφορά σχεδόν ασυμπίεστη, δηλαδή πολύ μικρή αλλαγή στον όγκο κατά την παραμόρφωση.
Τα τυπικά μέταλλα στην ελαστική περιοχή έχουν τιμές ν σημαντικά μικρότερες από 0,5.

Ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο λόγος Poisson;

Για ένα σταθερό, ομογενές και ισότροπο υλικό που περιγράφεται από την κλασική γραμμική θεωρία ελαστικότητας, ο λόγος Poisson είναι στην περιοχή:
-1 < ν < 0,5
Τα περισσότερα κοινά μέταλλα έχουν θετικό λόγο Poisson περίπου 0,3.
Ωστόσο, υπάρχουν υλικά σχετικά με αρνητικός λόγος Poisson, που αναφέρονται ως αυξητικά υλικά.

Τι είναι τα αυξητικά υλικά;

Αυξητικά υλικά χαρακτηρίζονται από αρνητικό λόγο Poisson.
Αυτό σημαίνει ότι συμπεριφέρονται ασυνήθιστα: όταν τεντώνονται, μπορεί να αυξήσουν την εγκάρσια διάστασή τους αντί να τη μειώσουν, και όταν συμπιέζονται, μπορεί να στενέψουν στην εγκάρσια κατεύθυνση.
Τέτοιες ιδιότητες μπορεί να προκύπτουν, μεταξύ άλλων, από τη συγκεκριμένη μικροδομή ή γεωμετρία του υλικού.
Οι τυπικοί χάλυβες και τα περισσότερα συμβατικά μέταλλα δεν εμφανίζουν αυτή τη μακροσκοπική συμπεριφορά υπό κανονικές συνθήκες.

Λόγος Poisson και συντελεστής όγκου K

Ο λόγος Poisson σχετίζεται επίσης με ογκομετρική μονάδα K, η οποία περιγράφει την αντίσταση ενός υλικού στην ελαστική μεταβολή του όγκου.
Για ισότροπο υλικό:
Κ = Ε / (3(1 – 2ν))
όπου:

K – ογκομετρική μονάδα,
E - Μέτρο Young,
ν – Ο λόγος Poisson.

Καθώς το ν πλησιάζει το 0,5, το μέτρο ελαστικότητας όγκου αυξάνεται σε σχέση με το E, το οποίο αντιστοιχεί στην ολοένα και χαμηλότερη ευαισθησία του υλικού στην αλλαγή όγκου.

Λόγος Poisson και αντοχή υλικού

Το ν δεν είναι μέτρο της αντοχής του υλικού.
Δεν διευκρινίζει:

Δύο υλικά μπορούν να έχουν παρόμοιο λόγο Poisson και όμως πολύ διαφορετικές ιδιότητες αντοχής.

Λόγος Poisson και πλαστική παραμόρφωση

Η κλασική τιμή του λόγου Poisson που χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς υλικών αναφέρεται κυρίως σε ελαστικό εύρος.
Μόλις ένα υλικό εισέλθει στο εύρος μεγάλων πλαστικών παραμορφώσεων, η συμπεριφορά του δεν μπορεί να περιγραφεί απλώς εφαρμόζοντας μια σταθερή τιμή του ν που προκύπτει από τη γραμμική θεωρία της ελαστικότητας.
Στις πλαστικές αναλύσεις, χρησιμοποιούνται κατάλληλα συντακτικά μοντέλα για την περιγραφή συμπεριφορά υλικού εκτός του ελαστικού εύρους.

Από τι εξαρτάται ο λόγος Poisson;

Η τιμή του ν εξαρτάται, μεταξύ άλλων, από:

το είδος του υλικού και η δομή του,
θερμοκρασία,
κατεύθυνση μέτρησης σε ανισότροπα υλικά,
συχνότητες φορτίου σε συγκεκριμένες δυναμικές μεθόδους,
συνθήκες για την εκτέλεση της μέτρησης.

Για πολλά τυπικά μέταλλα, οι αλλαγές στο ν που προκύπτουν από την τυπική θερμική επεξεργασία είναι πολύ μικρότερες από τις αλλαγές σε παραμέτρους όπως Rm , Re ή Rp0,2.

Λόγος Poisson και θερμοκρασία

Ο λόγος Poisson μπορεί να ποικίλλει ανάλογα με τη θερμοκρασία.
Για εφαρμογές που απαιτούν ακριβείς υπολογισμούς, ειδικά σε υψηλές ή πολύ χαμηλές θερμοκρασίες, θα πρέπει να χρησιμοποιούνται δεδομένα υλικού που καθορίζονται για το κατάλληλο εύρος θερμοκρασιών.
Η τιμή του ν που προσδιορίζεται σε θερμοκρασία δωματίου δεν θα πρέπει να θεωρείται αυτόματα για όλες τις συνθήκες λειτουργίας.

Λόγος Poisson σε ανισότροπα υλικά

Σε ένα τέλεια ισότροπο υλικό, μία μόνο τιμή του λόγου Poisson μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει την ελαστική του συμπεριφορά.
Στα υλικά ανισότροπος η κατάσταση είναι πιο περίπλοκη. Η εγκάρσια παραμόρφωση μπορεί να εξαρτάται από την κατεύθυνση εφαρμογής του φορτίου και την κατεύθυνση στην οποία μετράται.
Σε τέτοιες περιπτώσεις, μπορεί να υπάρχουν διαφορετικοί λόγοι Poisson που σχετίζονται με διαφορετικές κατευθύνσεις υλικών.
Αυτό είναι σημαντικό, μεταξύ άλλων, για μονοκρυστάλλους, υλικά υψηλής υφής και σύνθετα υλικά.

Πώς προσδιορίζεται ο λόγος Poisson;

Ο λόγος Poisson μπορεί να προσδιοριστεί κατά τη διάρκεια ελεγχόμενη φόρτωση δείγματος με ταυτόχρονη μέτρηση διαμήκης και εγκάρσια παραμόρφωση.
Τα ακόλουθα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για μετρήσεις, μεταξύ άλλων:

εκτενσιόμετρα,
μετρητές τάσης ηλεκτρικής αντίστασης,
συστήματα μέτρησης οπτικής παραμόρφωσης,
Δυναμικές μέθοδοι που χρησιμοποιούν τις ιδιότητες των ελαστικών κυμάτων.

Η επιλογή της μεθόδου εξαρτάται από το υλικό, την απαιτούμενη ακρίβεια και τις συνθήκες δοκιμής.

Γιατί είναι σημαντικός ο λόγος Poisson;

Ο λόγος Poisson χρησιμοποιείται στη μηχανική των υλικών και στους δομικούς υπολογισμούς επειδή η φόρτιση προς τη μία κατεύθυνση προκαλεί επίσης παραμορφώσεις στις εγκάρσιες κατευθύνσεις.
Η παράμετρος ν είναι σημαντική, μεταξύ άλλων, για:

ανάλυση της κατάστασης τάσης και παραμόρφωσης,
υπολογισμοί δομικών στοιχείων,
ανάλυση επαφών,
υπολογισμοί πίεσης,
τρισδιάστατη ανάλυση παραμόρφωσης,
μοντελοποίηση πεπερασμένων στοιχείων (FEM/FEM),
προσδιορισμός της σχέσης μεταξύ των ελαστικών σταθερών ενός υλικού.

Στα προγράμματα FEM, ο λόγος Poisson δίνεται συχνά μαζί με το μέτρο Young ως ένα βασικό σύνολο δεδομένων που ορίζουν τη γραμμική-ελαστική συμπεριφορά ενός ισότροπου υλικού.

Μήπως ένας μεγαλύτερος λόγος Poisson σημαίνει καλύτερο υλικό;

Δεν. Ο λόγος Poisson δεν είναι ποιοτική παράμετρος.
Μια μεγαλύτερη ή μικρότερη τιμή του ν υποδεικνύει διαφορετική αναλογία εγκάρσιας προς διαμήκη παραμόρφωσης. Ωστόσο, δεν υποδεικνύει ότι το υλικό είναι ισχυρότερο, σκληρότερο, πιο όλκιμο ή πιο ανθεκτικό σε βλάβες.
Η τιμή του ν θα πρέπει να αντιμετωπίζεται ως μία από τις σταθερές που περιγράφουν την ελαστική συμπεριφορά του υλικού.

Λόγος Poisson ν – η πιο σημαντική πληροφορία

ν σημαίνει αναλογία Poisson.
Περιγράφει την αναλογία της εγκάρσιας προς τη διαμήκη παραμόρφωση στο ελαστικό εύρος.
Ο τύπος έχει ως εξής: ν = -ε_{εγκάρσιος} / ε_{επιμήκης}.
Ο λόγος Poisson είναι αδιάστατος.
Για πολλά μέταλλα το ν είναι περίπου 0,3.
Όταν τεντώνεται, ένα τυπικό μέταλλο επιμηκύνεται προς την κατεύθυνση του φορτίου και στενεύει στην εγκάρσια κατεύθυνση.
Το ν δεν είναι μέτρο αντοχής, σκληρότητας ή ορίου διαρροής.
Για ένα ισότροπο γραμμικό ελαστικό υλικό, το ν σχετίζεται μαθηματικά με το μέτρο ελαστικότητας Young E και Μέτρο Kirchhoff G.
Η σχέση μεταξύ E, G και ν έχει τη μορφή G = E / (2(1 + ν)).
Τιμές του ν κοντά στο 0,5 αντιστοιχούν σε συμπεριφορά κοντά στην ασυμπίεστη.
Τα υλικά με αρνητικό λόγο Poisson ονομάζονται αυξητικά υλικά.
Σε ανισότροπα υλικά, ο λόγος Poisson μπορεί να εξαρτάται από την κατεύθυνση.
Στους υπολογισμούς FEM, ο λόγος Poisson χρησιμοποιείται συχνά μαζί με το μέτρο ελαστικότητας Young.