Poissonův poměr ν – definice, vzorec, hodnoty a význam

Poissonův poměr ν je jednou ze základních veličin popisujících elastické vlastnosti materiálůDefinuje vztah mezi příčné a podélné napětí materiál během jednoosého napětí nebo stlačení v elastické oblasti.
Když se vzorek natahuje, jeho délka se zvětšuje, zatímco jeho příčné rozměry se obvykle zmenšují. Během komprese dochází k opaku – vzorek se zkracuje a jeho příčné rozměry se obvykle zvětšují. Poissonův poměr popisuje vztah mezi těmito změnami rozměrů.
Poissonův poměr se označuje řeckým písmenem ν (nu) a je bezrozměrná veličina.

Co znamená Poissonův poměr?

Během jednoosého roztahování se materiál deformuje ve směru síly. Současně dochází k deformaci v příčném směru.
Pokud je tyč natažena podél své osy:

jeho délka se zvětšuje,
jeho šířka nebo průměr se obvykle zmenšuje.

Poissonův poměr definuje poměr těchto dvou deformací v elastickém rozsahu.

Vzorec pro Poissonův poměr

Poissonův poměr lze zapsat jako:
ν = -ε_příčný /ε_obdélník
kde:

ν – Poissonův poměr,
ε_příčný – relativní deformace v příčném směru,
ε_obdélník – relativní deformace ve směru působení zatížení.

Znaménko mínus vyplývá ze skutečnosti, že během typického natahování je podélné napětí kladné, zatímco příčné napětí je záporné.
Použitím znaménka mínus nabývá Poissonův poměr pro většinu běžných kovů kladné hodnoty.

Příklad výpočtu Poissonova poměru

Předpokládejme, že při natahování vzorku je jeho podélné napětí:
ε_obdélník = 0,001
zatímco příčná deformace:
ε_příčný = -0,0003
Poissonův poměr je:
v = -(-0,0003 / 0,001) = 0,30
To znamená, že poměr absolutní hodnoty příčného napětí k podélnému napětí je v tomto případě 0,30.

Má Poissonův poměr jednotku?

Poissonův poměr nemá jednotku.
Jak příčné, tak podélné napětí jsou relativní veličiny, proto je jejich podíl bezrozměrný.
Proto se ν neudává v MPa, GPa ani v procentech.
Příklad záznamu vypadá takto:
ν = 0,30

Typické hodnoty Poissonova poměru pro kovy

Pro mnoho kovů se Poissonův poměr při pokojové teplotě pohybuje přibližně v rozmezí 0,25–0,35 . Přesná hodnota však závisí na materiálu, jeho struktuře, směru měření, teplotě a použité zkušební metodě.

věc	Přibližný Poissonův poměr ν
Uhlíkové a legované oceli	asi 0,27–0,30
Nerezové oceli	asi 0,27–0,31
hliník a jeho nohy	asi 0,32–0,35
Titan a jeho nohy	asi 0,30–0,35
Měď a její nohy	asi 0,30–0,35
Nikl i jeho nohy	asi 0,29–0,32

Hodnoty v tabulce jsou orientační . Konstrukční výpočty by měly být založeny na datech specifických pro daný materiál, teplotu a podmínky.

Co fyzikálně znamená ν = 0,30?

Hodnota:
ν = 0,30
znamená, že v elastické oblasti je absolutní hodnota příčného napětí přibližně 30 % podélného napětí při jednoosém zatížení.
Pokud je podélná deformace:
ε = 0,1 %
pak při ν = 0,30 bude příčné napětí přibližně:
ε_příčný = -0,03 %
Znaménko mínus značí zmenšení příčného rozměru během roztahování.

Poissonův poměr během komprese

Vztah funguje i během elastických mačkání.
Pokud je vzorek stlačen podél své osy:

jeho délka se zmenšuje,
příčné rozměry se obvykle zvětšují.

Poissonův poměr také popisuje vztah mezi těmito deformacemi, za předpokladu, že se materiál nachází v příslušném elastickém rozsahu.

Poissonův poměr a Youngův modul E

Poissonův poměr ν a Youngův modul E popisují různé elastické vlastnosti materiálu.

Parametr	Co to popisuje?	Jednotka
E	Vztah mezi napětím a podélným přetvořením v lineárně elastickém rozsahu	GPa
ν	Vztah mezi příčným a podélným napětím	bez jednotky

Youngův modul pružnosti primárně určuje tuhost materiálu v tahu nebo tlaku , zatímco Poissonův poměr určuje, jak je podélná deformace doprovázena změnou příčných rozměrů.

Poissonův poměr a Kirchhoffův modul G

Pro homogenní, izotropní lineárně elastický materiál souvisí Poissonův poměr s Youngovým modulem pružnosti E a Kirchhoffův modul G závislost:
G = E / (2(1 + ν))
Závislost lze také transformovat do tvaru:
ν = E / (2G) – 1
kde:

E - Youngův modul,
G - Kirchhoffův modul, tj. smykový modul,
ν – Poissonův poměr.

To znamená, že u izotropního lineárně elastického materiálu umožňuje znalost dvou z těchto parametrů určení třetího.

Příklad vztahů E, G a ν pro ocel

Pro orientaci předpokládejme:
E = 210 GPa
a:
ν = 0,30
Pak:
G = 210 / (2 × (1 + 0,30))
G = 210 / 2,6 ≈ 80,8 GPa
Získaná hodnota odpovídá typickému řádu modulu pružnosti ve smyku pro ocel.

Poissonův poměr a změna objemu

Poissonův poměr také souvisí se změnou objemu materiálu během elastické deformace.
Pro izotropní lineárně elastický materiál se hodnota ν blížící 0,5 znamená chování blízké nestlačitelnosti, tj. velmi malou změnu objemu během deformace.
Typické kovy v elastickém rozsahu mají hodnoty ν výrazně menší než 0,5.

Jaké hodnoty může Poissonův poměr nabývat?

Pro stabilní, homogenní a izotropní materiál popsaný klasickou lineární teorií pružnosti je Poissonův poměr v rozsahu:
-1 < ν < 0,5
Většina běžných kovů má kladný Poissonův poměr, který je asi 0,3.
Existují však materiály o negativní Poissonův poměr, označované jako auxetické materiály.

Co jsou auxetické materiály?

Auxetické materiály jsou charakterizovány negativním Poissonovým poměrem.
To znamená, že se chovají neobvykle: při natažení mohou svůj příčný rozměr zvětšit místo zmenšení a při stlačení se mohou v příčném směru zužovat.
Takové vlastnosti mohou mimo jiné vyplývat ze specifické mikrostruktury nebo geometrie materiálu.
Typické oceli a většina konvenčních kovů toto makroskopické chování za standardních podmínek nevykazují.

Poissonův poměr a objemový modul K

Poissonův poměr také souvisí s objemový modul K, který popisuje odpor materiálu vůči elastické změně objemu.
Pro izotropní materiál:
K = E / (3(1 – 2ν))
kde:

K – objemový modul,
E - Youngův modul,
ν – Poissonův poměr.

Jak se ν blíží 0,5, objemový modul pružnosti se zvyšuje vzhledem k E, což odpovídá stále nižší náchylnosti materiálu ke změně objemu.

Poissonův poměr a pevnost materiálu

ν není měřítkem pevnosti materiálu.
Nespecifikuje:

Dva materiály mohou mít podobný Poissonův poměr a přesto velmi odlišné pevnostní vlastnosti.

Poissonův poměr a plastická deformace

Klasická hodnota Poissonova poměru používaná ve výpočtech materiálů se týká především elastický rozsah.
Jakmile materiál vstoupí do oblasti velkých plastických deformací, jeho chování nelze popsat pouhým použitím konstantní hodnoty ν odvozené z lineární teorie pružnosti.
V plastických analýzách se k popisu používají vhodné konstitutivní modely chování materiálu mimo oblast pružnosti.

Na čem závisí Poissonův poměr?

Hodnota ν závisí mimo jiné na:

druh materiálu a jeho struktura,
teplota,
směr měření v anizotropních materiálech,
frekvence zatížení ve specifických dynamických metodách,
podmínky pro provedení měření.

U mnoha typických kovů jsou změny ν vyplývající ze standardního tepelného zpracování mnohem menší než změny parametrů, jako je Rm , Re nebo Rp0,2.

Poissonův poměr a teplota

Poissonův poměr se může měnit s teplotou.
Pro aplikace vyžadující přesné výpočty, zejména při vysokých nebo velmi nízkých teplotách, by měly být použity materiálové údaje specifikované pro příslušný teplotní rozsah.
Hodnota ν stanovená při pokojové teplotě by se neměla automaticky předpokládat pro všechny provozní podmínky.

Poissonův poměr v anizotropních materiálech

V dokonale izotropním materiálu lze k popisu jeho elastického chování použít jednu hodnotu Poissonova poměru.
V materiálech anizotropní Situace je složitější. Příčné napětí může záviset na směru aplikace zatížení a směru, ve kterém je měřeno.
V takových případech mohou existovat různé Poissonovy poměry spojené s různými směry materiálu.
To je důležité mimo jiné pro monokrystaly, vysoce texturované materiály a kompozity.

Jak se určuje Poissonův poměr?

Poissonův poměr lze určit během kontrolované nakládání vzorků simultánním měřením podélná a příčná deformace.
Pro měření lze mimo jiné použít:

extenzometry,
elektrické odporové tenzometry,
optické systémy pro měření napětí,
dynamické metody využívající vlastnosti elastických vln.

Volba metody závisí na materiálu, požadované přesnosti a zkušebních podmínkách.

Proč je Poissonův poměr důležitý?

Poissonův poměr se používá v mechanice materiálů a strukturálních výpočtech, protože zatížení v jednom směru způsobuje deformace i v příčných směrech.
Parametr ν je důležitý mimo jiné pro:

analýza stavu napětí a deformace,
výpočty konstrukčních prvků,
analýza kontaktů,
výpočty tlaku,
trojrozměrná deformační analýza,
modelování metodou konečných prvků (FEM/FEM),
určení vztahu mezi elastickými konstantami materiálu.

V programech MKP se Poissonův poměr často uvádí společně s Youngovým modulem jako základní sada dat definujících lineárně elastické chování izotropního materiálu.

Znamená větší Poissonův poměr lepší materiál?

Ne. Poissonův poměr není kvalitativní parametr.
Větší nebo menší hodnota ν značí jiný poměr příčného a podélného napětí. Neznamená to však, že je materiál pevnější, tvrdší, tvárnější nebo odolnější vůči poškození.
Hodnota ν by měla být považována za jednu z konstanty popisující elastické chování materiálu.

Poissonův poměr ν – nejdůležitější informace

ν znamená Poissonův poměr.
Popisuje poměr příčného a podélného napětí v elastickém rozsahu.
Vzorec je následující: ν = -ε_příčný /ε_obdélník.
Poissonův poměr je bezrozměrný.
Pro mnoho kovů je ν přibližně 0,3.
Při natahování se typický kov prodlužuje ve směru zatížení a zužuje v příčném směru.
ν není měřítkem pevnosti, tvrdosti ani meze kluzu.
Pro izotropní lineárně elastický materiál je ν matematicky vztaženo k Youngovu modulu pružnosti E a Kirchhoffův modul G.
Vztah mezi E, G a ν má tvar G = E / (2(1 + ν)).
Hodnoty ν blízké 0,5 odpovídají chování blízkému nestlačitelnosti.
Materiály s negativním Poissonovým poměrem se nazývají auxetické materiály.
V anizotropních materiálech může Poissonův poměr záviset na směru.
Ve výpočtech metodou konečných prvků se Poissonův poměr často používá společně s Youngovým modulem.