Poisson-verhouding ν – definitie, formule, waarden en betekenis

Poisson-verhouding ν is een van de basisgrootheden die beschrijven elastische eigenschappen van materialenDefinieert de relatie tussen dwarsrek en lengterek materiaal tijdens eenaxiale trek- of drukspanning in het elastische bereik.
Wanneer een monster wordt uitgerekt, neemt de lengte toe, terwijl de dwarsafmetingen doorgaans afnemen. Bij compressie gebeurt het tegenovergestelde: het monster verkort en de dwarsafmetingen nemen doorgaans toe. De Poisson-verhouding beschrijft de relatie tussen deze dimensionale veranderingen.
De Poisson-verhouding wordt aangeduid met een Griekse letter. ν (nu) en is dimensieloze hoeveelheid.

Wat betekent de Poisson-verhouding?

Tijdens eenaxiale rek vervormt het materiaal in de richting van de kracht. Tegelijkertijd vindt er ook vervorming plaats in de dwarsrichting.
Als de staaf langs zijn as wordt uitgerekt:

de lengte ervan neemt toe,
De breedte of diameter ervan neemt meestal af.

De Poisson-verhouding definieert de verhouding tussen deze twee vervormingen in het elastische bereik.

Formule voor de verhouding van Poisson

De Poisson-verhouding kan als volgt worden geschreven:
ν = -ε_dwars / ε_langwerpig
waarbij:

ν – Poisson-verhouding,
ε_dwars – relatieve vervorming in de dwarsrichting,
ε_langwerpig – relatieve vervorming in de richting van de belasting.

Het minteken is het gevolg van het feit dat tijdens een normale rek de longitudinale rek positief is, terwijl de transversale rek negatief is.
Door het minteken te gebruiken, krijgt de Poisson-verhouding voor de meeste gangbare metalen een positieve waarde.

Voorbeeld van het berekenen van de Poisson-verhouding

Laten we aannemen dat wanneer het monster wordt uitgerekt, de longitudinale rek als volgt is:
ε_langwerpig = 0,001
terwijl de transversale vervorming:
ε_dwars = -0,0003
De Poisson-verhouding is:
ν = -(-0,0003 / 0,001) = 0,30
Dit betekent dat de verhouding tussen de absolute waarde van de dwarsrek en de lengterek in dit geval gelijk is aan 0,30.

Heeft de Poisson-verhouding een eenheid?

De Poisson-verhouding heeft geen eenheid.
Zowel de dwars- als de lengterek zijn relatieve grootheden, daarom is hun quotiënt dimensieloos.
Daarom wordt ν niet uitgedrukt in MPa, GPa of percentage.
Een voorbeeld van een invoer ziet er als volgt uit:
v = 0,30

Typische Poisson-verhoudingswaarden voor metalen

Voor veel metalen ligt de Poisson-verhouding bij kamertemperatuur ongeveer tussen de 0,25 en 0,35 . De exacte waarde is echter afhankelijk van het materiaal, de structuur, de meetrichting, de temperatuur en de gebruikte testmethode.

materiaal	Geschatte Poisson-verhouding ν
Koolstof- en gelegeerd staal	ongeveer 0,27–0,30
Stale nierdzewne	ongeveer 0,27–0,31
Aluminium en zijn voeten	ongeveer 0,32–0,35
Titanium en zijn voeten	ongeveer 0,30–0,35
Koper en haar voeten	ongeveer 0,30–0,35
Nikkel i zijn voeten	ongeveer 0,29–0,32

De waarden in de tabel zijn indicatief . Ontwerpberekeningen moeten gebaseerd zijn op gegevens die specifiek zijn voor het materiaal, de temperatuur en de omstandigheden.

Wat betekent ν = 0,30 fysiek?

Waarde:
v = 0,30
Dit betekent dat in het elastische gebied de absolute waarde van de dwarsrek ongeveer 30% van de lengterek bedraagt tijdens eenaxiale belasting.
Als de longitudinale vervorming is:
ε = 0,1%
Bij ν = 0,30 zal de transversale rek dan ongeveer zijn:
ε_dwars = -0,03%
Het minteken geeft een vermindering van de dwarsafmeting aan tijdens het strekken.

Poisson-verhouding tijdens compressie

De relatie geldt ook tijdens elastische perioden. knijpen.
Als het monster langs zijn as wordt samengedrukt:

de lengte ervan neemt af,
De dwarsafmetingen nemen doorgaans toe.

De Poisson-verhouding beschrijft ook de relatie tussen deze vervormingen, mits het materiaal zich binnen het juiste elastische bereik bevindt.

Poisson-verhouding en Young-modulus E

De Poisson-verhouding ν en de Young-modulus E beschrijven verschillende elastische eigenschappen van een materiaal.

parameter	Wat beschrijft het?	jednostki
E	Verband tussen spanning en longitudinale rek in het lineair-elastische bereik	GPa
ν	De relatie tussen transversale en longitudinale rek	zonder eenheid

De elasticiteitsmodulus van Young bepaalt voornamelijk de stijfheid van een materiaal bij trek- of drukbelasting , terwijl de Poisson-verhouding bepaalt in hoeverre longitudinale vervorming gepaard gaat met een verandering in de transversale afmetingen.

Poisson-verhouding en Kirchhoff-modulus G

Voor een homogeen, isotroop lineair-elastisch materiaal is de Poisson-verhouding gerelateerd aan de Young-modulus E en Kirchhoffs modulus G afhankelijkheid:
G = E / (2(1 + ν))
De afhankelijkheid kan ook worden omgezet in de volgende vorm:
ν = E / (2G) – 1
waarbij:

E - Youngs modulus,
G - Kirchhoffs modulus, oftewel schuifmodulus,
ν – Poisson-verhouding.

Dit betekent dat voor een isotroop lineair-elastisch materiaal de kennis van twee van deze parameters de bepaling van de derde parameter mogelijk maakt.

Voorbeeld van de E-, G- en ν-relaties voor staal

Laten we voor de duidelijkheid het volgende aannemen:
E = 210 GPa
oraz:
v = 0,30
Dan:
G = 210 / (2 × (1 + 0,30))
G = 210 / 2,6 ≈ 80,8 GPa
De verkregen waarde komt overeen met de typische orde van grootte van de schuifmodulus voor staal.

Poisson-verhouding en volumeverandering

De Poisson-verhouding is ook gerelateerd aan de volumeverandering van een materiaal tijdens elastische vervorming.
Voor een isotroop lineair-elastisch materiaal nadert de waarde van ν de waarde van 0,5 Dit betekent dat het materiaal zich gedraagt als bijna onsamendrukbaar, oftewel dat het volume tijdens de vervorming nauwelijks verandert.
Typische metalen in het elastische bereik hebben ν-waarden die aanzienlijk kleiner zijn dan 0,5.

Welke waarden kan de Poisson-verhouding aannemen?

Voor een stabiel, homogeen en isotroop materiaal, beschreven door de klassieke lineaire elasticiteitstheorie, ligt de Poisson-verhouding in het volgende bereik:
-1 < ν < 0,5
De meeste gangbare metalen hebben een positieve Poisson-verhouding van ongeveer 0,3.
Er bestaat echter wel materiaal over negatieve Poisson-verhouding, ook wel auxetische materialen genoemd.

Wat zijn auxetische materialen?

Auxetische materialen worden gekenmerkt door een negatieve Poisson-verhouding.
Dit betekent dat ze zich ongebruikelijk gedragen: wanneer ze worden uitgerekt, kan hun dwarsafmeting toenemen in plaats van afnemen, en wanneer ze worden samengedrukt, kunnen ze in de dwarsrichting smaller worden.
Dergelijke eigenschappen kunnen onder meer het gevolg zijn van de specifieke microstructuur of geometrie van het materiaal.
Gangbare staalsoorten en de meeste gangbare metalen vertonen dit macroscopische gedrag niet onder standaardomstandigheden.

Poisson-verhouding en bulkmodulus K

De Poisson-verhouding is ook gerelateerd aan volumetrische module K, wat de weerstand van een materiaal tegen elastische volumeverandering beschrijft.
Voor isotroop materiaal:
K = E / (3(1 – 2ν))
waarbij:

K – volumetrische module,
E - Youngs modulus,
ν – Poisson-verhouding.

Naarmate ν de waarde 0,5 nadert, neemt de bulkmodulus toe ten opzichte van E, wat overeenkomt met de steeds lagere gevoeligheid van het materiaal voor volumeverandering.

Poisson-verhouding en materiaalsterkte

ν is geen maat voor de sterkte van het materiaal.
Niet gespecificeerd:

Twee materialen kunnen een vergelijkbare Poisson-verhouding hebben en toch zeer verschillende sterkte-eigenschappen.

Poisson-verhouding en plastische vervorming

De klassieke waarde van de Poisson-verhouding die in materiaalberekeningen wordt gebruikt, heeft voornamelijk betrekking op elastisch bereik.
Zodra een materiaal het bereik van grote plastische vervormingen bereikt, kan het gedrag ervan niet eenvoudig worden beschreven door een constante waarde van ν toe te passen die is afgeleid van de lineaire elasticiteitstheorie.
Bij plasticanalyses worden geschikte constitutieve modellen gebruikt om te beschrijven materiaalgedrag buiten het elastische bereik.

Waarvan hangt de Poisson-verhouding af?

De waarde van ν hangt onder andere af van:

soort materiaal en de structuur ervan,
temperatuur,
meetrichting in anisotrope materialen,
belastingsfrequenties bij specifieke dynamische methoden,
voorwaarden voor het uitvoeren van de meting.

Voor veel gangbare metalen zijn de veranderingen in ν als gevolg van standaard warmtebehandeling veel kleiner dan de veranderingen in parameters zoals Rm , Re of Rp0,2.

Poisson-verhouding en temperatuur

De Poisson-verhouding kan variëren met de temperatuur.
Voor toepassingen die nauwkeurige berekeningen vereisen, met name bij hoge of zeer lage temperaturen, dienen materiaalspecificaties voor het betreffende temperatuurbereik te worden gebruikt.
De waarde van ν die bij kamertemperatuur is bepaald, mag niet automatisch worden aangenomen voor alle bedrijfsomstandigheden.

Poisson-verhouding in anisotrope materialen

In een perfect isotroop materiaal kan één enkele waarde van de Poisson-verhouding worden gebruikt om het elastische gedrag ervan te beschrijven.
In de materialen anisotropisch De situatie is complexer. De dwarsrek kan afhangen van de richting waarin de belasting wordt uitgeoefend en de richting waarin deze wordt gemeten.
In dergelijke gevallen kunnen er verschillende Poisson-verhoudingen zijn die samenhangen met verschillende materiaalrichtingen.
Dit is onder andere belangrijk voor enkelkristallen, sterk gestructureerde materialen en composieten.

Hoe wordt de Poisson-verhouding bepaald?

De Poisson-verhouding kan worden bepaald tijdens gecontroleerde monsterbelading door gelijktijdige meting longitudinale en transversale vervorming.
Voor metingen kunnen onder andere de volgende methoden worden gebruikt:

extensometers,
elektrische weerstandsrekstrookjes,
optische rekmeetsystemen,
dynamische methoden die gebruikmaken van de eigenschappen van elastische golven.

De keuze van de methode hangt af van het materiaal, de vereiste nauwkeurigheid en de testomstandigheden.

Waarom is de Poisson-verhouding belangrijk?

De Poisson-verhouding wordt gebruikt in de materiaalkunde en bij constructieberekeningen, omdat belasting in één richting ook vervormingen in de dwarsrichtingen veroorzaakt.
De parameter ν is onder andere belangrijk voor:

analyse van de spanning- en vervormingstoestand,
berekeningen van structurele elementen,
contactanalyse,
drukberekeningen,
driedimensionale vervormingsanalyse,
eindige-elementenmodellering (FEM/FEM),
Het bepalen van de relatie tussen de elastische constanten van een materiaal.

In FEM-programma's wordt de Poisson-verhouding vaak samen met de Young-modulus gegeven als een basisset gegevens die het lineair-elastische gedrag van een isotroop materiaal definiëren.

Betekent een hogere Poisson-verhouding dat het materiaal beter is?

nee. De Poisson-verhouding is geen kwalitatieve parameter.
Een grotere of kleinere waarde van ν duidt op een andere verhouding tussen dwars- en lengterek. Dit betekent echter niet dat het materiaal sterker, harder, buigzamer of beter bestand tegen beschadiging is.
De waarde van ν moet worden beschouwd als een van de volgende: constanten die het elastische gedrag van het materiaal beschrijven.

Poisson-verhouding ν – de belangrijkste informatie

ν dat wil zeggen de Poisson-verhouding.
Beschrijft de verhouding tussen de dwars- en de lengterek in het elastische bereik.
De formule is als volgt: ν = -ε_dwars / ε_langwerpig.
De Poisson-verhouding is dimensieloos.
Voor veel metalen is ν ongeveer 0,3.
Wanneer metaal wordt uitgerekt, rekt het uit in de richting van de belasting en versmalt het in de dwarsrichting.
ν is geen maat voor sterkte, hardheid of vloeigrens.
Voor een isotroop lineair elastisch materiaal is ν wiskundig gerelateerd aan de elasticiteitsmodulus E en Kirchhoffs modulus G.
De relatie tussen E, G en ν heeft de vorm G = E / (2(1 + ν)).
Waarden van ν die dicht bij 0,5 liggen, corresponderen met gedrag dat bijna onsamendrukbaar is.
Materialen met een negatieve Poisson-verhouding worden auxetische materialen genoemd.
Bij anisotrope materialen kan de Poisson-verhouding afhankelijk zijn van de richting.
Bij FEM-berekeningen wordt de Poisson-verhouding vaak samen met de Young-modulus gebruikt.