Poissonov pomer ν – definícia, vzorec, hodnoty a význam

Poissonov pomer ν je jednou zo základných veličín opisujúcich elastické vlastnosti materiálovDefinuje vzťah medzi priečne napätie a pozdĺžne napätie materiál počas jednoosového ťahu alebo kompresie v elastickom rozsahu.
Keď sa vzorka naťahuje, jej dĺžka sa zväčšuje, zatiaľ čo jej priečne rozmery sa zvyčajne zmenšujú. Počas kompresie nastáva opak – vzorka sa skracuje a jej priečne rozmery sa zvyčajne zväčšujú. Poissonov pomer opisuje vzťah medzi týmito rozmerovými zmenami.
Poissonov pomer sa označuje gréckym písmenom ν (nu) a je bezrozmerné množstvo.

Čo znamená Poissonov pomer?

Počas jednoosového naťahovania sa materiál deformuje v smere sily. Súčasne dochádza k deformácii v priečnom smere.
Ak je tyč natiahnutá pozdĺž svojej osi:

jeho dĺžka sa zväčšuje,
jeho šírka alebo priemer sa zvyčajne zmenšuje.

Poissonov pomer definuje pomer týchto dvoch deformácií v elastickom rozsahu.

Vzorec pre Poissonov pomer

Poissonov pomer možno zapísať ako:
ν = -ε_priečny / ε_podlhovastý
kde:

ν – Poissonov pomer,
ε_priečny – relatívna deformácia v priečnom smere,
ε_podlhovastý – relatívna deformácia v smere pôsobenia zaťaženia.

Znamienko mínus vyplýva zo skutočnosti, že počas typického naťahovania je pozdĺžne napätie kladné, zatiaľ čo priečne napätie je záporné.
Použitím znamienka mínus nadobúda Poissonov pomer pre väčšinu bežných kovov kladnú hodnotu.

Príklad výpočtu Poissonovho koeficientu

Predpokladajme, že keď je vzorka natiahnutá, jej pozdĺžne napätie je:
ε_podlhovastý = 0,001
zatiaľ čo priečna deformácia:
ε_priečny = -0,0003
Poissonov pomer je:
v = -(-0,0003 / 0,001) = 0,30
To znamená, že pomer absolútnej hodnoty priečneho napätia k pozdĺžnemu napätiu je v tomto prípade 0,30.

Má Poissonov pomer jednotku?

Poissonov pomer nemá jednotku.
Priečne aj pozdĺžne napätie sú relatívne veličiny, preto je ich kvocient bezrozmerný.
Preto sa ν neudáva v MPa, GPa alebo percentách.
Príklad záznamu vyzerá takto:
ν = 0,30

Typické hodnoty Poissonovho pomeru pre kovy

Pre mnohé kovy je Poissonov pomer pri izbovej teplote približne v rozmedzí 0,25 – 0,35 . Presná hodnota však závisí od materiálu, jeho štruktúry, smeru merania, teploty a použitej testovacej metódy.

vec	Približný Poissonov pomer ν
Uhlíkové a legované ocele	približne 0,27 – 0,30
Nerezové ocele	približne 0,27 – 0,31
hliník a jeho nohy	približne 0,32 – 0,35
titán a jeho nohy	približne 0,30 – 0,35
Meď a jej nohy	približne 0,30 – 0,35
Nikel i jeho nohy	približne 0,29 – 0,32

Hodnoty v tabuľke sú orientačné . Konštrukčné výpočty by mali byť založené na údajoch špecifických pre daný materiál, teplotu a podmienky.

Čo fyzikálne znamená ν = 0,30?

Hodnota:
ν = 0,30
znamená, že v elastickom rozsahu je absolútna hodnota priečneho napätia približne 30 % pozdĺžneho napätia počas jednoosového zaťaženia.
Ak je pozdĺžna deformácia:
ε = 0,1 %
potom pri ν = 0,30 bude priečne napätie približne:
ε_priečny = -0,03 %
Znamienko mínus označuje zmenšenie priečneho rozmeru počas naťahovania.

Poissonov pomer počas kompresie

Vzťah funguje aj počas elastických stláčanie.
Ak je vzorka stlačená pozdĺž svojej osi:

jeho dĺžka sa skracuje,
priečne rozmery sa zvyčajne zväčšujú.

Poissonov pomer tiež opisuje vzťah medzi týmito deformáciami za predpokladu, že materiál je v príslušnom elastickom rozsahu.

Poissonov pomer a Youngov modul E

Poissonov koeficient ν a Youngov modul E opisujú rôzne elastické vlastnosti materiálu.

Parametre	Čo to opisuje?	Jednotka
E	Vzťah medzi napätím a pozdĺžnym pretvorením v lineárno-elastickej oblasti	GPa
ν	Vzťah medzi priečnym a pozdĺžnym napätím	bez jednotky

Youngov modul pružnosti primárne určuje tuhosť materiálu v ťahu alebo tlaku , zatiaľ čo Poissonov pomer určuje, ako je pozdĺžna deformácia sprevádzaná zmenou priečnych rozmerov.

Poissonov pomer a Kirchhoffov modul G

Pre homogénny, izotropný lineárne elastický materiál súvisí Poissonov pomer s Youngovým modulom E a Kirchhoffov modul G závislosť:
G = E / (2(1 + ν))
Závislosť sa dá tiež transformovať do tvaru:
ν = E / (2G) – 1
kde:

E - Youngov modul,
G - Kirchhoffov modul, t. j. modul šmyku,
ν – Poissonov pomer.

To znamená, že v prípade izotropného lineárne elastického materiálu umožňuje znalosť dvoch z týchto parametrov určenie tretieho.

Príklad vzťahov E, G a ν pre oceľ

Pre usmernenie predpokladajme:
E = 210 GPa
a:
ν = 0,30
Potom:
G = 210 / (2 × (1 + 0,30))
G = 210 / 2,6 ≈ 80,8 GPa
Získaná hodnota zodpovedá typickému rádu veľkosti modulu šmyku pre oceľ.

Poissonov pomer a zmena objemu

Poissonov pomer súvisí aj so zmenou objemu materiálu počas elastickej deformácie.
Pre izotropný lineárne elastický materiál sa hodnota ν blížiaca 0,5 znamená správanie blízke nestlačiteľnosti, t. j. veľmi malú zmenu objemu počas deformácie.
Typické kovy v elastickom rozsahu majú hodnoty ν výrazne menšie ako 0,5.

Aké hodnoty môže Poissonov pomer nadobúdať?

Pre stabilný, homogénny a izotropný materiál opísaný klasickou lineárnou teóriou pružnosti je Poissonov koeficient v rozsahu:
-1 < ν < 0,5
Väčšina bežných kovov má kladný Poissonov pomer približne 0,3.
Existujú však materiály o negatívny Poissonov pomer, označované ako auxetické materiály.

Čo sú auxetické materiály?

Auxetické materiály sú charakterizované negatívnym Poissonovým pomerom.
To znamená, že sa správajú nezvyčajne: pri natiahnutí môžu zväčšiť svoj priečny rozmer namiesto jeho zmenšenia a pri stlačení sa môžu v priečnom smere zúžiť.
Takéto vlastnosti môžu byť okrem iného výsledkom špecifickej mikroštruktúry alebo geometrie materiálu.
Typické ocele a väčšina konvenčných kovov nevykazujú toto makroskopické správanie za štandardných podmienok.

Poissonov pomer a objemový modul K

Poissonov pomer tiež súvisí s objemový modul K, ktorý opisuje odpor materiálu voči elastickej zmene objemu.
Pre izotropný materiál:
K = E / (3(1 – 2ν))
kde:

K – objemový modul,
E - Youngov modul,
ν – Poissonov pomer.

Keď sa ν blíži k 0,5, objemový modul sa zvyšuje v porovnaní s E, čo zodpovedá čoraz nižšej náchylnosti materiálu na zmenu objemu.

Poissonov pomer a pevnosť materiálu

ν nie je mierou pevnosti materiálu.
Nešpecifikuje:

Dva materiály môžu mať podobný Poissonov pomer a napriek tomu veľmi odlišné pevnostné vlastnosti.

Poissonov pomer a plastická deformácia

Klasická hodnota Poissonovho koeficientu používaná pri materiálových výpočtoch sa vzťahuje predovšetkým na elastický rozsah.
Akonáhle materiál vstúpi do rozsahu veľkých plastických deformácií, jeho správanie nemožno opísať jednoducho použitím konštantnej hodnoty ν odvodenej z lineárnej teórie elasticity.
V plastických analýzach sa na opis používajú vhodné konštitutívne modely správanie materiálu mimo elastického rozsahu.

Od čoho závisí Poissonov pomer?

Hodnota ν závisí okrem iného od:

druh materiálu a jeho štruktúra,
teplota,
smer merania v anizotropných materiáloch,
frekvencie zaťaženia v špecifických dynamických metódach,
podmienky na vykonanie merania.

Pre mnohé typické kovy sú zmeny ν vyplývajúce zo štandardného tepelného spracovania oveľa menšie ako zmeny parametrov, ako sú Rm , Re alebo Rp0,2.

Poissonov pomer a teplota

Poissonov pomer sa môže meniť s teplotou.
Pre aplikácie vyžadujúce presné výpočty, najmä pri vysokých alebo veľmi nízkych teplotách, by sa mali použiť materiálové údaje špecifikované pre príslušný teplotný rozsah.
Hodnota ν stanovená pri izbovej teplote by sa nemala automaticky predpokladať pre všetky prevádzkové podmienky.

Poissonov pomer v anizotropných materiáloch

V dokonale izotropnom materiáli možno na opis jeho elastického správania použiť jednu hodnotu Poissonovho koeficientu.
V materiáloch anizotropný Situácia je zložitejšia. Priečne napätie môže závisieť od smeru pôsobenia zaťaženia a smeru, v ktorom sa meria.
V takýchto prípadoch môžu existovať rôzne Poissonove pomery spojené s rôznymi smermi materiálu.
Toto je dôležité okrem iného pre monokryštály, vysoko textúrované materiály a kompozity.

Ako sa určuje Poissonov pomer?

Poissonov pomer je možné určiť počas kontrolované nakladanie vzorky simultánnym meraním pozdĺžna a priečna deformácia.
Na merania sa okrem iného môžu použiť:

extenzometre,
elektrické odporové tenzometre,
optické systémy na meranie deformácie,
dynamické metódy využívajúce vlastnosti elastických vĺn.

Výber metódy závisí od materiálu, požadovanej presnosti a skúšobných podmienok.

Prečo je Poissonov pomer dôležitý?

Poissonov pomer sa používa v mechanike materiálov a konštrukčných výpočtoch, pretože zaťaženie v jednom smere spôsobuje deformácie aj v priečnych smeroch.
Parameter ν je dôležitý okrem iného pre:

analýza stavu napätia a deformácie,
výpočty konštrukčných prvkov,
analýza kontaktov,
výpočty tlaku,
trojrozmerná deformačná analýza,
modelovanie metódou konečných prvkov (FEM/FEM),
určenie vzťahu medzi elastickými konštantami materiálu.

V programoch FEM sa Poissonov pomer často uvádza spolu s Youngovým modulom ako základný súbor údajov definujúcich lineárne elastické správanie izotropného materiálu.

Znamená väčší Poissonov pomer lepší materiál?

nie. Poissonov pomer nie je kvalitatívny parameter.
Väčšia alebo menšia hodnota ν naznačuje odlišný pomer priečneho a pozdĺžneho napätia. Neznamená to však, že materiál je pevnejší, tvrdší, tvárnejší alebo odolnejší voči poškodeniu.
Hodnota ν by sa mala považovať za jednu z konštanty opisujúce elastické správanie materiálu.

Poissonov pomer ν – najdôležitejšia informácia

ν znamená Poissonov pomer.
Opisuje pomer priečneho a pozdĺžneho napätia v elastickom rozsahu.
Vzorec je nasledovný: ν = -ε_priečny / ε_podlhovastý.
Poissonov pomer je bezrozmerný.
Pre mnohé kovy je ν približne 0,3.
Pri naťahovaní sa typický kov predlžuje v smere zaťaženia a zužuje v priečnom smere.
ν nie je mierou pevnosti, tvrdosti alebo medze klzu.
Pre izotropný lineárne elastický materiál je ν matematicky súvisiaci s Youngovým modulom E a Kirchhoffov modul G.
Vzťah medzi E, G a ν má tvar G = E / (2(1 + ν)).
Hodnoty ν blízke 0,5 zodpovedajú správaniu blízkemu nestlačiteľnosti.
Materiály s negatívnym Poissonovým pomerom sa nazývajú auxetické materiály.
V anizotropných materiáloch môže Poissonov pomer závisieť od smeru.
Vo výpočtoch metódou konečných prvkov (MKP) sa Poissonov pomer často používa spolu s Youngovým modulom.