יחס פואסון ν – הגדרה, נוסחה, ערכים ומשמעות

יחס פואסון ν הוא אחד הכמויות הבסיסיות המתארות תכונות אלסטיות של חומריםמגדיר את הקשר בין מאמץ רוחבי ומאמץ אורכי חומר במהלך מתח או דחיסה חד-ציריים בטווח האלסטיות.
כאשר דגימה נמתחת, אורכה גדל, בעוד שממדיה הרוחביים בדרך כלל יורדים. במהלך דחיסה, קורה ההפך - הדגימה מתקצרת, ומידותיה הרוחביות בדרך כלל גדלות. יחס פואסון מתאר את הקשר בין שינויים ממדיים אלה.
יחס פואסון מסומן באות יוונית ν (נו) וזהו כמות חסרת ממד.

מה המשמעות של יחס פואסון?

במהלך מתיחה חד-צירית, החומר מתעוות בכיוון הכוח. במקביל, מתרחשת עיוות בכיוון הרוחבי.
אם המוט נמתח לאורך צירו:

אורכו גדל,
רוחבו או קוטרו בדרך כלל פוחתים.

יחס פואסון מגדיר את היחס בין שני המעווים הללו בטווח האלסטיות.

נוסחת יחס פואסון

ניתן לכתוב את יחס פואסון כך:
ν = -ε_רוחבי /ε_{מַלבֵּן}
איפה:

ν – יחס פואסון,
ε_רוחבי – עיוות יחסי בכיוון הרוחבי,
ε_{מַלבֵּן} – עיוות יחסי בכיוון פעולת העומס.

סימן המינוס נובע מהעובדה שבמהלך מתיחה אופיינית המאמץ האורכי חיובי בעוד שהמאמץ הרוחבי שלילי.
באמצעות סימן המינוס, יחס פואסון עבור רוב המתכות הנפוצות מקבל ערך חיובי.

דוגמה לחישוב יחס פואסון

נניח שכאשר הדגימה נמתחת, המאמץ האורכי שלה הוא:
ε_{מַלבֵּן} = 0,001
בעוד שהעיוות הרוחבי:
ε_רוחבי = -0,0003
יחס פואסון הוא:
ν = -(-0,0003 / 0,001) = 0,30
משמעות הדבר היא שהיחס בין הערך המוחלט של המאמץ הרוחבי למאמץ האורכי הוא במקרה זה 0,30.

האם ליחס פואסון יש יחידה?

ליחס פואסון אין יחידה.
גם מאמץ רוחבי וגם מאמץ אורכי הם כמויות יחסיות, לכן המנה שלהם חסרת מימדים.
לכן, ν אינו ניתן ב-MPa, GPa או באחוזים.
דוגמה לערך נראית כך:
ν = 0,30

ערכי יחס פואסון אופייניים למתכות

עבור מתכות רבות, יחס הפואסון בטמפרטורת החדר הוא בערך בטווח של 0,25–0,35 . עם זאת, הערך המדויק תלוי בחומר, במבנה שלו, בכיוון המדידה, בטמפרטורה ובשיטת הבדיקה בה נעשה שימוש.

דברים	יחס משוער של פויסון ν
פלדות פחמן וסגסוגת	בערך 0,27–0,30
פלדות אל חלד	בערך 0,27–0,31
אלומיניום ורגליו	בערך 0,32–0,35
טִיטָן ורגליו	בערך 0,30–0,35
נְחוֹשֶׁת ורגליה	בערך 0,30–0,35
ניקיאל i רגליו	בערך 0,29–0,32

הערכים בטבלה הם אינדיקטיביים . חישובי התכנון צריכים להתבסס על נתונים ספציפיים לחומר, לטמפרטורה ולמצב.

מה המשמעות הפיזית של ν = 0,30?

ערך:
ν = 0,30
פירושו שבטווח האלסטיות הערך המוחלט של המאמץ הרוחבי הוא כ-30% מהמאמץ האורכי במהלך עומס חד-צירי.
אם העיוות האורכי הוא:
ε = 0,1%
אז ב- ν = 0,30 המאמץ הרוחבי יהיה בקירוב:
ε_רוחבי = -0,03%
סימן המינוס מציין הפחתה בממד הרוחבי במהלך מתיחה.

יחס פואסון במהלך דחיסה

הקשר עובד גם במהלך אלסטיות סְחִיטָה.
אם הדגימה דחוסה לאורך צירה:

אורכו מתקצר,
ממדים רוחביים בדרך כלל גדלים.

יחס פואסון מתאר גם את הקשר בין המעווים הללו, בתנאי שהחומר נמצא בטווח האלסטיות המתאים.

יחס פואסון ומודול יאנג E

יחס פואסון ν ומודולוס יאנג E מתארים תכונות אלסטיות שונות של חומר.

פרמטר	מה זה מתאר?	ידנוסטקה
E	הקשר בין מאמץ ומאמץ אורכי בטווח הליניארי-אלסטי	ממוצע ציונים
ν	הקשר בין מאמץ רוחבי ומאמץ אורכי	בלי יחידה

מודול יאנג קובע בעיקר את קשיחות החומר במתיחה או בדחיסה , בעוד שיחס פואסון קובע כיצד דפורמציה אורכית מלווה בשינוי בממדים הרוחביים.

יחס פואסון ומודול קירכהוף G

עבור חומר הומוגני, איזוטרופי בעל אלסטיות ליניארית, יחס פואסון קשור למודול יאנג E ו- מודול קירכהוף G תלות:
G = E / (2(1 + ν))
ניתן גם להמיר את התלות לצורה:
ν = E / (2G) – 1
איפה:

משמעות הדבר היא שעבור חומר איזוטרופי אלסטי ליניארי, ידיעת שניים מהפרמטרים הללו מאפשרת את קביעת השלישי.

דוגמה ליחסי E, G ו-ν עבור פלדה

הבה נניח כהנחיה:
E = 210 GPa
אוראז:
ν = 0,30
אָז:
G = 210 / (2 × (1 + 0,30))
G = 210 / 2,6 ≈ 80,8 GPa
הערך המתקבל תואם לסדר גודל טיפוסי של מודול הגזירה עבור פלדה.

יחס פואסון ושינוי נפח

יחס פואסון קשור גם לשינוי בנפח של חומר במהלך דפורמציה אלסטית.
עבור חומר איזוטרופי אלסטי-לינארי, הערך של ν מתקרב ל 0,5 פירושו התנהגות קרובה לבלתי דחיסה, כלומר שינוי קטן מאוד בנפח במהלך דפורמציה.
למתכות אופייניות בטווח האלסטיות יש ערכי ν נמוכים משמעותית מ-0,5.

אילו ערכים יכול יחס פואסון לקבל?

עבור חומר יציב, הומוגני ואיזוטרופי המתואר על ידי תורת האלסטיות הליניארית הקלאסית, יחס פואסון נמצא בטווח:
1- < ν < 0,5
לרוב המתכות הנפוצות יש יחס פואסון חיובי של כ-0,3.
עם זאת, ישנם חומרים בנושא יחס פואסון שלילי, המכונים חומרים אוקסטיים.

מהם חומרים אוקסטיים?

חומרים אוקסטיים מאופיינים ביחס פואסון שלילי.
משמעות הדבר היא שהם מתנהגים בצורה יוצאת דופן: כאשר הם נמתחים, הם עשויים להגדיל את ממדם הרוחבי במקום להקטין אותו, וכאשר הם דחוסים, הם עשויים להצטמצם בכיוון הרוחבי.
תכונות כאלה עשויות לנבוע, בין היתר, מהמיקרו-מבנה או הגיאומטריה הספציפית של החומר.
פלדות אופייניות ורוב המתכות הקונבנציונליות אינן מפגינות התנהגות מקרוסקופית זו בתנאים סטנדרטיים.

יחס פואסון ומודולוס נפח K

יחס פואסון קשור גם ל מודול נפחי K, המתאר את ההתנגדות של חומר לשינוי נפח אלסטי.
עבור חומר איזוטרופי:
K = E / (3(1 – 2ν))
איפה:

K – מודול נפחי,
E - מודול יאנג,
ν – יחס פואסון.

ככל ש-ν מתקרב ל-0,5, מודול הנפח עולה יחסית ל-E, דבר התואם את הרגישות ההולכת ופוחתת של החומר לשינוי נפח.

יחס פואסון וחוזק החומר

ν אינו מדד לחוזק החומר.
לא מציין:

לשני חומרים יכולים להיות יחס פואסון דומה אך יחד עם זאת תכונות חוזק שונות מאוד.

יחס פואסון ועיוות פלסטי

הערך הקלאסי של יחס פואסון המשמש בחישובי חומרים מתייחס בעיקר ל טווח אלסטי.
ברגע שחומר נכנס לטווח של דפורמציות פלסטיות גדולות, לא ניתן לתאר את התנהגותו פשוט על ידי יישום ערך קבוע של ν הנגזר מתורת האלסטיות הלינארית.
בניתוחים פלסטיים, משתמשים במודלים קונסטיטוטיבים מתאימים כדי לתאר התנהגות החומר מחוץ לטווח האלסטיות.

במה תלוי יחס פואסון?

ערכו של ν תלוי, בין היתר, ב:

סוג החומר ומבנהו,
טֶמפֶּרָטוּרָה,
כיוון מדידה בחומרים אניזוטרופיים,
תדרי עומס בשיטות דינמיות ספציפיות,
תנאים לביצוע המדידה.

עבור מתכות אופייניות רבות, השינויים ב-ν הנובעים מטיפול בחום סטנדרטי קטנים בהרבה מהשינויים בפרמטרים כגון Rm , Re או Rp0,2.

יחס פואסון וטמפרטורה

יחס פואסון יכול להשתנות בהתאם לטמפרטורה.
עבור יישומים הדורשים חישובים מדויקים, במיוחד בטמפרטורות גבוהות או נמוכות מאוד, יש להשתמש בנתוני חומר שצוינו עבור טווח הטמפרטורות המתאים.
אין להניח באופן אוטומטי את הערך של ν שנקבע בטמפרטורת החדר עבור כל תנאי ההפעלה.

יחס פואסון בחומרים אניזוטרופיים

בחומר איזוטרופי לחלוטין, ניתן להשתמש בערך יחיד של יחס פואסון כדי לתאר את התנהגותו האלסטית.
בחומרים אניזוטרופי המצב מורכב יותר. מאמץ רוחבי עשוי להיות תלוי בכיוון הפעלת העומס ובכיוון שבו הוא נמדד.
במקרים כאלה, ייתכנו יחסי פואסון שונים הקשורים לכיווני חומר שונים.
זה חשוב, בין היתר, לגבי גבישים בודדים, חומרים בעלי מרקם גבוה וחומרים מרוכבים.

כיצד נקבע יחס פואסון?

ניתן לקבוע את יחס פואסון במהלך טעינת דגימות מבוקרת על ידי מדידה סימולטנית דפורמציה אורכית ורוחבית.
ניתן להשתמש במדידות הבאות, בין היתר:

אקסטנסומטרים,
מדי מאמץ של התנגדות חשמלית,
מערכות מדידת מאמץ אופטי,
שיטות דינמיות המשתמשות בתכונות של גלים אלסטיים.

בחירת השיטה תלויה בחומר, בדיוק הנדרש ובתנאי הבדיקה.

למה יחס פואסון חשוב?

יחס פואסון משמש במכניקת חומרים ובחישובים מבניים משום שעומס בכיוון אחד גורם גם לעיוותים בכיוונים רוחביים.
הפרמטר ν חשוב, בין היתר, עבור:

ניתוח מצב מאמץ ומאמץ,
חישובי אלמנטים מבניים,
ניתוח קשר,
חישובי לחץ,
ניתוח דפורמציה תלת-ממדי,
מידול אלמנטים סופיים (FEM/FEM),
קביעת הקשר בין קבועי האלסטיות של חומר.

בתוכניות FEM, יחס פואסון ניתן לעתים קרובות יחד עם מודול יאנג כקבוצת נתונים בסיסית המגדירה את ההתנהגות הליניארית-אלסטית של חומר איזוטרופי.

האם יחס פואסון גדול יותר משמעו חומר טוב יותר?

ניי. יחס פואסון אינו פרמטר איכותי.
ערך גדול או קטן יותר של ν מצביע על יחס שונה בין מאמץ רוחבי לאורכי. עם זאת, הוא אינו מצביע על כך שהחומר חזק יותר, קשה יותר, גמיש יותר או עמיד יותר בפני נזק.
יש להתייחס לערך של ν כאל אחד מ קבועים המתארים את ההתנהגות האלסטית של החומר.

יחס פואסון ν – המידע החשוב ביותר

ν פירושו יחס פואסון.
מתאר את היחס בין מאמץ רוחבי לאורכי בטווח האלסטיות.
הנוסחה היא כדלקמן: ν = -ε_רוחבי /ε_{מַלבֵּן}.
יחס פואסון הוא חסר מימדים.
עבור מתכות רבות ν הוא בערך 0,3.
כאשר מתכת נמתחת, היא מתארכת בכיוון העומס ומצטמצמת בכיוון הרוחבי.
ν אינו מדד לחוזק, קשיות או חוזק כניעה.
עבור חומר אלסטי ליניארי איזוטרופי, ν קשור מתמטית למודול יאנג E ו- מודול קירכהוף G.
הקשר בין E, G ו-ν הוא בצורה הבאה G = E / (2(1 + ν)).
ערכים של ν הקרובים ל-0,5 תואמים התנהגות הקרובה לבלתי דחיסה.
חומרים בעלי יחס פואסון שלילי נקראים חומרים אוקסטיים.
בחומרים אניזוטרופיים, יחס פואסון עשוי להיות תלוי בכיוון.
בחישובי FEM, יחס פואסון משמש לעתים קרובות יחד עם מודול יאנג.