Poissons forhold ν – definition, formel, værdier og betydning

Poissons forhold ν er en af de grundlæggende størrelser, der beskriver Materialers elastiske egenskaberDefinerer forholdet mellem tværgående belastning og længdebelastning materiale under enakset spænding eller kompression i det elastiske område.
Når en prøve strækkes, øges dens længde, mens dens tværgående dimensioner typisk mindskes. Under kompression sker det modsatte - prøven forkortes, og dens tværgående dimensioner øges typisk. Poissons forhold beskriver forholdet mellem disse dimensionsændringer.
Poissons forhold er betegnet med et græsk bogstav ν (nu) og er dimensionsløs mængde.

Hvad betyder Poissons forhold?

Under enakset strækning deformeres materialet i kraftens retning. Samtidig sker der deformation i tværretningen.
Hvis stangen strækkes langs sin akse:

dens længde øges,
dens bredde eller diameter aftager normalt.

Poissons forhold definerer forholdet mellem disse to tøjninger i det elastiske område.

Poissons forholdsformel

Poissons forhold kan skrives som:
ν = -ε_tværgående / ε_aflang
hvor:

ν – Poissons forhold,
ε_tværgående – relativ deformation i tværretningen,
ε_aflang – relativ deformation i lastens virkningsretning.

Minustegnet skyldes, at den langsgående tøjning under typisk strækning er positiv, mens den tværgående tøjning er negativ.
Ved at bruge minustegnet antager Poisson-forholdet for de fleste almindelige metaller en positiv værdi.

Eksempel på beregning af Poisson-forholdet

Lad os antage, at når prøven strækkes, er dens længdeforskydning:
ε_aflang = 0,001
mens den tværgående deformation:
ε_tværgående = -0,0003
Poissons forhold er:
ν = -(-0,0003 / 0,001) = 0,30
Det betyder, at forholdet mellem den absolutte værdi af den tværgående tøjning og den langsgående tøjning i dette tilfælde er 0,30.

Har Poissons forhold en enhed?

Poissons forhold har ingen enhed.
Både tværgående og longitudinel tøjning er relative størrelser, derfor er deres kvotient dimensionsløs.
Derfor er ν ikke angivet i MPa, GPa eller procent.
Et eksempel på en indtastning ser sådan ud:
ν = 0,30

Typiske Poisson-forholdsværdier for metaller

For mange metaller ligger Poisson-forholdet ved stuetemperatur omtrent i området 0,25-0,35 . Den nøjagtige værdi afhænger dog af materialet, dets struktur, måleretningen, temperaturen og den anvendte testmetode.

materiale	Tilnærmet Poissons forhold ν
Kulstof- og legeringsstål	omkring 0,27–0,30
Rustfrit stål	omkring 0,27–0,31
Aluminium og hans fødder	omkring 0,32–0,35
Titanium og hans fødder	omkring 0,30–0,35
kobber og hendes fødder	omkring 0,30–0,35
Nikkel i hans fødder	omkring 0,29–0,32

Værdierne i tabellen er vejledende . Designberegninger bør baseres på data specifikke for materialet, temperaturen og forholdene.

Hvad betyder ν = 0,30 fysisk?

Værdi:
ν = 0,30
betyder, at den absolutte værdi af den tværgående tøjning i det elastiske område er omkring 30 % af den langsgående tøjning under enakset belastning.
Hvis den langsgående deformation er:
ε = 0,1%
så vil den tværgående tøjning ved ν = 0,30 være omtrent:
ε_tværgående = -0,03%
Minustegnet angiver en reduktion i den tværgående dimension under strækning.

Poisson-forhold under kompression

Forholdet fungerer også under elastik klemme.
Hvis prøven komprimeres langs sin akse:

dens længde aftager,
tværgående dimensioner øges normalt.

Poissons forhold beskriver også forholdet mellem disse tøjninger, forudsat at materialet er i det passende elastiske område.

Poissons forhold og Youngs modul E

Poissons forhold ν og Youngs modul E beskriver forskellige elastiske egenskaber ved et materiale.

Parameter	Hvad beskriver det?	Enhed
E	Forholdet mellem spænding og longitudinel tøjning i det lineær-elastiske område	GPa
ν	Forholdet mellem tværgående og longitudinel belastning	uden en enhed

Youngs modul bestemmer primært et materiales stivhed under træk eller kompression , mens Poissons forhold bestemmer, hvordan længdedeformation ledsages af en ændring i tværgående dimensioner.

Poissons forhold og Kirchhoffs modul G

For et homogent, isotropisk lineær-elastisk materiale er Poissons forhold relateret til Youngs modul E og Kirchhoffs modul G afhængighed:
G = E / (2(1 + ν))
Afhængigheden kan også omdannes til formen:
ν = E / (2G) – 1
hvor:

E - Youngs modul,
G - Kirchhoffs modul, dvs. forskydningsmodul,
ν – Poissons forhold.

Det betyder, at for et isotropisk lineær-elastisk materiale tillader kendskab til to af disse parametre bestemmelse af den tredje.

Eksempel på E-, G- og ν-forholdene for stål

Lad os antage som vejledning:
E = 210 GPa
og:
ν = 0,30
Så:
G = 210 / (2 × (1 + 0,30))
G = 210 / 2,6 ≈ 80,8 GPa
Den opnåede værdi svarer til den typiske størrelsesorden for forskydningsmodulet for stål.

Poissons forhold og volumenændring

Poissons forhold er også relateret til ændringen i et materiales volumen under elastisk deformation.
For et isotropisk lineær-elastisk materiale nærmer værdien af ν sig 0,5 betyder adfærd tæt på inkompressibel, dvs. meget lille ændring i volumen under deformation.
Typiske metaller i det elastiske område har ν-værdier betydeligt mindre end 0,5.

Hvilke værdier kan Poisson-forholdet antage?

For et stabilt, homogent og isotropisk materiale beskrevet af den klassiske lineære elasticitetsteori er Poissons forhold i området:
-1 < ν < 0,5
De fleste almindelige metaller har et positivt Poisson-forhold på omkring 0,3.
Der findes dog materiale vedr. negativt Poisson-forhold, kaldet auxetiske materialer.

Hvad er auxetiske materialer?

Auxetiske materialer er karakteriseret ved et negativt Poisson-forhold.
Det betyder, at de opfører sig usædvanligt: Når de strækkes, kan de øge deres tværgående dimension i stedet for at mindske den, og når de komprimeres, kan de snævres ind i tværretningen.
Sådanne egenskaber kan blandt andet skyldes materialets specifikke mikrostruktur eller geometri.
Typiske ståltyper og de fleste konventionelle metaller udviser ikke denne makroskopiske adfærd under standardforhold.

Poissons forhold og bulkmodul K

Poissons forhold er også relateret til volumetrisk modul K, som beskriver et materiales modstand mod elastisk volumenændring.
For isotropisk materiale:
K = E / (3(1 – 2ν))
hvor:

K – volumetrisk modul,
E - Youngs modul,
ν – Poissons forhold.

Når ν nærmer sig 0,5, øges bulkmodulet i forhold til E, hvilket svarer til materialets stadig lavere modtagelighed for volumenændringer.

Poisson-forhold og materialestyrke

ν er ikke et mål for materialets styrke.
Specificerer ikke:

To materialer kan have et lignende Poisson-forhold og alligevel meget forskellige styrkeegenskaber.

Poisson-forhold og plastisk tøjning

Den klassiske værdi af Poisson-forholdet, der anvendes i materialeberegninger, refererer primært til elastisk rækkevidde.
Når et materiale først kommer ind i området med store plastiske deformationer, kan dets adfærd ikke beskrives blot ved at anvende en konstant værdi af ν afledt af den lineære elasticitetsteori.
I plastiske analyser anvendes passende konstitutive modeller til at beskrive materialeadfærd uden for det elastiske område.

Hvad afhænger Poisson-forholdet af?

Værdien af ν afhænger blandt andet af:

materialetype og dets struktur,
temperatur,
måleretning i anisotrope materialer,
belastningsfrekvenser i specifikke dynamiske metoder,
betingelser for at udføre målingen.

For mange typiske metaller er ændringerne i ν som følge af standard varmebehandling meget mindre end ændringerne i parametre som Rm , Re eller Rp0,2.

Poisson-forhold og temperatur

Poissons forhold kan variere med temperaturen.
Til anvendelser, der kræver nøjagtige beregninger, især ved høje eller meget lave temperaturer, bør materialedata angivet for det relevante temperaturområde anvendes.
Værdien af ν bestemt ved stuetemperatur bør ikke automatisk antages under alle driftsforhold.

Poisson-forhold i anisotrope materialer

I et perfekt isotropisk materiale kan en enkelt værdi af Poissons forhold bruges til at beskrive dets elastiske adfærd.
I materialerne anisotropisk Situationen er mere kompleks. Tværgående tøjning kan afhænge af belastningens påføringsretning og den retning, den måles i.
I sådanne tilfælde kan der være forskellige Poisson-forhold forbundet med forskellige materialeretninger.
Dette er blandt andet vigtigt for enkeltkrystaller, meget teksturerede materialer og kompositter.

Hvordan bestemmes Poisson-forholdet?

Poissons forhold kan bestemmes under kontrolleret prøveindlæsning ved samtidig måling længde- og tværgående deformation.
Følgende kan blandt andet bruges til målinger:

ekstensometre,
elektriske modstandsbelastningsmålere,
optiske belastningsmålesystemer,
dynamiske metoder, der bruger egenskaberne ved elastiske bølger.

Valget af metode afhænger af materialet, den nødvendige nøjagtighed og testforholdene.

Hvorfor er Poissons forhold vigtigt?

Poissons forhold bruges i materialemekanik og strukturelle beregninger, fordi belastning i én retning også forårsager deformationer i tværretningerne.
Parameteren ν er blandt andet vigtig for:

analyse af spændings- og tøjningstilstand,
beregninger af strukturelle elementer,
kontaktanalyse,
trykberegninger,
tredimensionel deformationsanalyse,
finite element modellering (FEM/FEM),
bestemmelse af forholdet mellem et materiales elastiske konstanter.

I FEM-programmer gives Poissons forhold ofte sammen med Youngs modul som et grundlæggende datasæt, der definerer den lineær-elastiske opførsel af et isotropisk materiale.

Betyder et større Poisson-forhold et bedre materiale?

Nej. Poissons forhold er ikke en kvalitativ parameter.
En større eller mindre værdi af ν indikerer et forskelligt forhold mellem tværgående og langsgående tøjning. Det indikerer dog ikke, at materialet er stærkere, hårdere, mere duktilt eller mere modstandsdygtigt over for skader.
Værdien af ν bør behandles som en af konstanter, der beskriver materialets elastiske opførsel.

Poisson-forholdet ν – den vigtigste information

ν betyder Poissons forhold.
Beskriver forholdet mellem tværgående og longitudinel tøjning i det elastiske område.
Formlen er som følger: ν = -ε_tværgående / ε_aflang.
Poissons forhold er dimensionsløs.
For mange metaller er ν omtrent 0,3.
Når det strækkes, forlænges typisk metal i belastningsretningen og indsnævres i tværretningen.
ν er ikke et mål for styrke, hårdhed eller flydespænding.
For et isotropisk lineært elastisk materiale er ν matematisk relateret til Youngs modul E og Kirchhoffs modul G.
Forholdet mellem E, G og ν har formen G = E / (2(1 + ν)).
Værdier af ν tæt på 0,5 svarer til adfærd tæt på inkompressibel.
Materialer med et negativt Poisson-forhold kaldes auxetiske materialer.
I anisotrope materialer kan Poissons forhold afhænge af retningen.
I FEM-beregninger bruges Poissons forhold ofte sammen med Youngs modul.