Moduł Kirchhoffa G – moduł ścinania, wzór, jednostka i znaczenie

Moduł Kirchhoffa G, nazywany również modułem ścinania lub modułem sprężystości poprzecznej, jest jedną z podstawowych stałych opisujących sprężyste właściwości materiałów. Określa zależność pomiędzy naprężeniem stycznym a odkształceniem postaciowym w zakresie liniowo-sprężystym.
Moduł Kirchhoffa jest oznaczany symbolem G i określa odporność materiału na sprężystą zmianę kształtu wywołaną ścinaniem.
Im większa wartość G, tym mniejsze odkształcenie postaciowe powstaje przy takim samym naprężeniu stycznym. Modułu Kirchhoffa nie należy utożsamiać z wytrzymałością na ścinanie – są to dwie różne właściwości materiału.

Co oznacza moduł Kirchhoffa G?

Jeżeli na materiał działają naprężenia styczne, może on ulec zmianie kształtu. W zakresie liniowo-sprężystym odkształcenie to zanika po usunięciu obciążenia.
Moduł Kirchhoffa opisuje zależność pomiędzy naprężeniem stycznym τ a odkształceniem postaciowym γ.
Zależność tę można zapisać jako:
τ = G × γ
stąd:
G = τ / γ
gdzie:

G – moduł Kirchhoffa, czyli moduł ścinania,
τ – naprężenie styczne,
γ – odkształcenie postaciowe.

Zależność ta obowiązuje w liniowo-sprężystym zakresie zachowania materiału.

Jednostka modułu Kirchhoffa

Odkształcenie postaciowe γ jest wielkością bezwymiarową, dlatego moduł Kirchhoffa ma taką samą jednostkę jak naprężenie.
G może być podawany w:

Pa – paskalach,
MPa – megapaskalach,
GPa – gigapaskalach.

Dla metali moduł ścinania najczęściej podaje się w GPa.
1 GPa = 1000 MPa
1 MPa = 1 N/mm²
Przykładowo:
G = 80 GPa = 80 000 MPa = 80 000 N/mm²

Co fizycznie oznacza wysoki moduł G?

Wysoki moduł Kirchhoffa oznacza, że materiał stawia duży opór sprężystej zmianie kształtu podczas działania naprężeń stycznych.
Przy takim samym naprężeniu stycznym materiał o większym G ulegnie mniejszemu odkształceniu postaciowemu niż materiał o mniejszym G.
Można więc powiedzieć, że G jest miarą sztywności materiału przy ścinaniu.

Co to jest odkształcenie postaciowe γ?

Odkształcenie postaciowe opisuje zmianę kształtu materiału spowodowaną działaniem naprężeń stycznych.
Można ją zobrazować na przykładzie prostokątnego elementu, którego dolna powierzchnia pozostaje nieruchoma, natomiast górna zostaje przesunięta równolegle względem dolnej. Początkowo prostokątny element przyjmuje wówczas kształt zbliżony do równoległoboku.
Odkształcenie postaciowe oznacza się symbolem:
γ
i wyraża jako wielkość bezwymiarową, odpowiadającą zmianie kąta wyrażonej w radianach.
Dla małych odkształceń można przyjąć:
γ ≈ Δx / h
gdzie:

Δx – względne przesunięcie powierzchni,
h – odległość pomiędzy nimi.

Przykład obliczenia modułu Kirchhoffa

Załóżmy, że materiał jest poddany naprężeniu stycznemu:
τ = 160 MPa
a odpowiadające mu odkształcenie postaciowe w zakresie liniowo-sprężystym wynosi:
γ = 0,002
Wówczas:
G = τ / γ
G = 160 / 0,002 = 80 000 MPa
czyli:
G = 80 GPa

Moduł Kirchhoffa a moduł Younga E

G i E opisują dwa różne rodzaje sprężystej odpowiedzi materiału.

Parametr	Nazwa	Co opisuje	Typowa jednostka
E	Moduł Younga	Sztywność przy rozciąganiu i ściskaniu jednoosiowym	GPa
G	Moduł Kirchhoffa	Sztywność przy ścinaniu	GPa

Moduł Younga określa zależność pomiędzy naprężeniem normalnym i odkształceniem podłużnym, natomiast moduł Kirchhoffa określa zależność pomiędzy naprężeniem stycznym i odkształceniem postaciowym.

Zależność pomiędzy E, G i współczynnikiem Poissona ν

Dla jednorodnego, izotropowego materiału liniowo-sprężystego moduł Younga E, moduł Kirchhoffa G i współczynnik Poissona ν są ze sobą związane zależnością:
G = E / (2(1 + ν))
Zależność można również zapisać jako:
E = 2G(1 + ν)
lub:
ν = E / (2G) – 1
gdzie:

E – moduł Younga,
G – moduł Kirchhoffa,
ν – współczynnik Poissona.

Oznacza to, że dla materiału spełniającego założenia liniowej izotropowej teorii sprężystości znajomość dwóch z tych parametrów pozwala obliczyć trzeci.

Przykład obliczenia G na podstawie E i ν

Dla stali można orientacyjnie przyjąć:
E = 210 GPa
oraz:
ν = 0,30
Wówczas:
G = 210 / (2 × (1 + 0,30))
G = 210 / 2,6
G ≈ 80,8 GPa
Jest to wartość odpowiadająca typowemu rzędowi wielkości modułu Kirchhoffa dla stali.

Typowe wartości modułu Kirchhoffa dla metali

Wartość G zależy od rodzaju materiału. Poniższe wartości mają charakter orientacyjny i nie powinny zastępować danych materiałowych przeznaczonych do konkretnych obliczeń.

Materiał	Orientacyjny moduł Kirchhoffa G
Stale węglowe i stopowe	około 75–82 GPa
Stale nierdzewne	około 70–80 GPa
Aluminium i jego stopy	około 25–28 GPa
Tytan i typowe stopy tytanu	około 38–46 GPa
Miedź	około 40–50 GPa
Nikiel	około 75–80 GPa

Dokładna wartość zależy między innymi od składu materiału, temperatury, struktury i kierunku pomiaru.

Moduł Kirchhoffa a wytrzymałość na ścinanie

Moduł ścinania G nie jest tym samym co wytrzymałość na ścinanie.
Moduł Kirchhoffa opisuje sprężyste odkształcenie materiału pod wpływem naprężeń stycznych.
Wytrzymałość na ścinanie określa natomiast poziom obciążenia związany ze zniszczeniem materiału w określonych warunkach ścinania.

Właściwość	Moduł Kirchhoffa G	Wytrzymałość na ścinanie
Opisuje	Sztywność sprężystą przy ścinaniu	Odporność na zniszczenie wskutek ścinania
Zakres	Sprężysty	Związany z granicznym stanem materiału
Typowa jednostka	GPa	MPa

Materiał o dużym G nie musi mieć proporcjonalnie dużej wytrzymałości na ścinanie.

Moduł Kirchhoffa a skręcanie

Moduł G ma szczególnie duże znaczenie podczas analizy skręcania wałów, prętów i innych elementów.
Przy skręcaniu w materiale powstają naprężenia styczne oraz odkształcenia postaciowe.
Dla pręta kołowego pracującego w zakresie liniowo-sprężystym kąt skręcenia można opisać zależnością:
φ = TL / (GJ)
gdzie:

φ – kąt skręcenia,
T – moment skręcający,
L – długość elementu,
G – moduł Kirchhoffa,
J – biegunowy moment bezwładności przekroju.

Z zależności wynika, że przy tej samej geometrii, długości i momencie skręcającym element wykonany z materiału o większym G będzie ulegał mniejszemu skręceniu.

Moduł G a sztywność skrętna elementu

Podobnie jak moduł Younga E nie jest tym samym co sztywność całego elementu, również G nie powinien być utożsamiany ze sztywnością skrętną konkretnej części.
Dla pręta pryzmatycznego o odpowiedniej geometrii na zachowanie przy skręcaniu wpływają między innymi:

moduł Kirchhoffa G,
geometria przekroju,
długość elementu.

W przypadku pręta o przekroju kołowym istotna jest wielkość GJ, nazywana sztywnością skrętną przekroju.
Oznacza to, że dwa wały wykonane z tego samego materiału mogą mieć zupełnie inną odporność na sprężyste skręcanie ze względu na różnice ich wymiarów.

Moduł Kirchhoffa a Rm, Re i Rp0,2

Moduł G nie określa wytrzymałości materiału.
Rm opisuje maksymalne naprężenie inżynierskie osiągnięte podczas próby rozciągania, natomiast Re i Rp0,2 są związane z przechodzeniem materiału w zakres trwałych odkształceń plastycznych.
G opisuje natomiast sprężystą odpowiedź materiału na ścinanie.
Dlatego materiały o podobnym module Kirchhoffa mogą posiadać bardzo różne wartości Rm i Rp0,2.

Moduł Kirchhoffa a twardość

G nie jest miarą twardości.
Twardość opisuje odporność materiału na określony rodzaj lokalnego odkształcenia, najczęściej wywołanego działaniem wgłębnika.
Moduł Kirchhoffa określa natomiast sprężystą odpowiedź materiału na naprężenia styczne.
Obróbka cieplna może bardzo znacznie zwiększyć twardość stali bez analogicznego zwiększenia jej modułu G.

Wpływ obróbki cieplnej na moduł Kirchhoffa

Obróbka cieplna może bardzo silnie wpływać na:

Wpływ typowej obróbki cieplnej na moduł Kirchhoffa jest natomiast zazwyczaj znacznie mniejszy niż jej wpływ na właściwości wytrzymałościowe.
Wynika to z faktu, że moduły sprężystości są w dużej mierze związane z charakterem wiązań między atomami.

Wpływ temperatury na moduł Kirchhoffa

Moduł Kirchhoffa zależy od temperatury.
Dla wielu metali wraz ze wzrostem temperatury wartość G maleje. Materiał staje się wówczas mniej sztywny w odpowiedzi na naprężenia styczne.
W obliczeniach elementów pracujących w wysokiej temperaturze należy więc korzystać z danych materiałowych odpowiednich dla rzeczywistej temperatury pracy.
Ma to znaczenie między innymi w przypadku wałów, turbin, elementów silników, instalacji energetycznych i urządzeń wysokotemperaturowych.

Moduł Kirchhoffa w materiałach anizotropowych

Prosta zależność:
G = E / (2(1 + ν))
dotyczy izotropowego materiału liniowo-sprężystego.
W materiałach anizotropowych właściwości sprężyste zależą od kierunku. Może być wówczas konieczne stosowanie różnych modułów ścinania dla różnych płaszczyzn i kierunków materiału.
Ma to znaczenie między innymi dla:

monokryształów,
materiałów o silnej teksturze,
kompozytów,
materiałów warstwowych.

W takich przypadkach nie można bez sprawdzenia właściwych danych materiałowych wyznaczać G z jednej wartości E i ν.

Jak wyznacza się moduł Kirchhoffa?

Moduł Kirchhoffa można wyznaczać na podstawie pomiaru zależności pomiędzy naprężeniem stycznym i odpowiadającym mu odkształceniem w zakresie sprężystym.
W zależności od materiału i metody mogą być stosowane między innymi:

próby skręcania,
metody pomiaru odkształceń przy ścinaniu,
metody dynamiczne,
metody wykorzystujące prędkość propagacji fal sprężystych.

Dla materiału izotropowego G może być również obliczone na podstawie znanych wartości E i ν.

Moduł Kirchhoffa w obliczeniach MES

W analizach metodą elementów skończonych właściwości sprężyste materiału mogą być definiowane poprzez odpowiedni zestaw stałych materiałowych.
Dla izotropowego materiału liniowo-sprężystego często wystarcza podanie dwóch niezależnych stałych, na przykład:

modułu Younga E,
współczynnika Poissona ν.

Na ich podstawie oprogramowanie może wyznaczyć pozostałe zależne stałe sprężystości, w tym moduł Kirchhoffa G.

Dlaczego moduł Kirchhoffa jest ważny?

G jest szczególnie istotny wszędzie tam, gdzie element konstrukcyjny jest poddawany ścinaniu lub skręcaniu.
Znajduje zastosowanie między innymi przy obliczaniu:

wałów i osi obciążonych momentem skręcającym,
sprężyn skrętnych, wykonywanych między innymi ze stali sprężynowych węglowych i stali sprężynowych stopowych,
elementów przenoszących moment obrotowy,
połączeń obciążonych ścinaniem,
odkształceń postaciowych konstrukcji,
drgań skrętnych,
modeli materiałowych stosowanych w analizach MES.

Czy większy moduł Kirchhoffa oznacza lepszy materiał?

Nie. Większa wartość G oznacza większą sztywność materiału przy odkształceniu postaciowym, ale nie oznacza automatycznie większej wytrzymałości, twardości, ciągliwości czy odporności na pękanie.
Wybór materiału zależy od wymagań konkretnej konstrukcji. W jednym zastosowaniu kluczowa może być wysoka sztywność przy skręcaniu, a w innym mała masa, wysoka granica plastyczności, odporność na korozję lub zdolność do pochłaniania energii.

Moduł Kirchhoffa G – najważniejsze informacje

G oznacza moduł Kirchhoffa, czyli moduł ścinania.
G nazywany jest również modułem sprężystości poprzecznej.
Opisuje sztywność materiału przy sprężystym ścinaniu.
W zakresie liniowo-sprężystym obowiązuje zależność τ = G × γ.
Moduł Kirchhoffa podawany jest najczęściej w GPa.
Im większe G, tym mniejsze odkształcenie postaciowe przy takim samym naprężeniu stycznym.
G nie jest tym samym co wytrzymałość na ścinanie.
G nie jest miarą Rm, Re, Rp0,2 ani twardości.
Dla izotropowego materiału liniowo-sprężystego zachodzi zależność G = E / (2(1 + ν)).
Dla stali G wynosi orientacyjnie około 80 GPa.
Moduł G ma szczególne znaczenie przy analizie ścinania i skręcania.
Wartość G zwykle maleje wraz ze wzrostem temperatury.
Sztywność skrętna konkretnego elementu zależy zarówno od G, jak i od jego geometrii.
W materiałach anizotropowych moduł ścinania może zależeć od kierunku i płaszczyzny.