Krzywa naprężenie–odkształcenie metali – wykres, zakres sprężysty, plastyczny i Rm

Krzywa naprężenie–odkształcenie przedstawia zależność pomiędzy naprężeniem działającym na materiał a wywołanym przez nie odkształceniem. Jest jednym z najważniejszych sposobów przedstawiania wyników statycznej próby rozciągania i pozwala obserwować kolejne etapy zachowania materiału – od odkształcenia sprężystego, przez rozpoczęcie odkształcenia plastycznego i umocnienie, aż do przewężenia oraz zerwania próbki. Z krzywą związane są podstawowe właściwości mechaniczne metali, takie jak moduł Younga E, granica plastyczności Re, umowna granica plastyczności Rp0,2 oraz wytrzymałość na rozciąganie Rm.

Co przedstawia krzywa naprężenie–odkształcenie?

Na osi pionowej wykresu przedstawia się naprężenie σ, natomiast na osi poziomej odkształcenie ε. W klasycznej statycznej próbie rozciągania krzywa jest tworzona na podstawie rejestrowanej siły oraz zmiany długości próbki. Dla krzywej inżynierskiej naprężenie oblicza się ze wzoru: σ = F/S₀ gdzie:

σ – naprężenie inżynierskie,
F – aktualna siła rozciągająca,
S₀ – początkowe pole przekroju próbki.

Odkształcenie inżynierskie można natomiast zapisać jako: ε = ΔL/L₀ = (L – L₀)/L₀ gdzie:

L₀ – początkowa długość pomiarowa,
L – aktualna długość pomiarowa,
ΔL – przyrost długości.

Jednostki naprężenia i odkształcenia

Naprężenie najczęściej podawane jest w MPa: 1 MPa = 1 N/mm² Odkształcenie ε jest wielkością bezwymiarową. Może być zapisywane jako liczba dziesiętna lub procent. Przykładowo: ε = 0,002 = 0,2%

Jak wygląda typowa krzywa naprężenie–odkształcenie?

Kształt wykresu zależy od materiału. Dla typowego ciągliwego metalu można jednak wyróżnić kilka charakterystycznych etapów:

zakres sprężysty,
przejście do odkształcenia plastycznego,
płynięcie materiału – jeżeli występuje wyraźne zjawisko płynięcia,
umocnienie odkształceniowe,
osiągnięcie maksymalnej siły i Rm,
powstanie przewężenia,
zerwanie próbki.

Nie każdy metal wykazuje wszystkie te etapy w równie wyraźnej postaci.

Zakres liniowo-sprężysty

Na początku próby dla wielu metali występuje obszar, w którym naprężenie jest w przybliżeniu proporcjonalne do odkształcenia. W tym zakresie materiał zachowuje się liniowo-sprężyście, a zależność można opisać prawem Hooke’a: σ = Eε gdzie:

σ – naprężenie,
E – moduł Younga,
ε – odkształcenie.

Po odciążeniu materiał znajdujący się w zakresie sprężystym zasadniczo powraca do pierwotnych wymiarów.

Nachylenie krzywej i moduł Younga E

Nachylenie odpowiednio określonego liniowo-sprężystego fragmentu krzywej jest związane z modułem Younga E: E = Δσ/Δε Im większa wartość E, tym większa sztywność materiału w kierunku rozciągania. Moduł Younga nie określa jednak wytrzymałości materiału. Dwie stale o bardzo różnych Rm i Rp0,2 mogą mieć podobny moduł E.

Granica proporcjonalności

Granica proporcjonalności jest związana z końcem obszaru, w którym naprężenie i odkształcenie pozostają proporcjonalne zgodnie z liniową zależnością Hooke’a. Nie należy automatycznie utożsamiać granicy proporcjonalności z granicą plastyczności. Są to różne pojęcia opisujące inne cechy zachowania materiału.

Zakres sprężysty a zakres plastyczny

Najważniejsza praktyczna różnica pomiędzy odkształceniem sprężystym i plastycznym dotyczy zachowania po usunięciu obciążenia.

Rodzaj odkształcenia	Zachowanie po odciążeniu
Sprężyste	Odkształcenie zasadniczo zanika
Plastyczne	Pozostaje trwała część odkształcenia

Po rozpoczęciu odkształcenia plastycznego próbka nie powraca już całkowicie do swoich początkowych wymiarów.

Granica plastyczności Re

W niektórych metalach przejście od zakresu sprężystego do plastycznego jest wyraźne. Można wtedy określić granicę plastyczności oraz – jeżeli występuje odpowiedni przebieg krzywej – rozróżnić:

ReH – górną granicę plastyczności,
ReL – dolną granicę plastyczności.

W materiałach wykazujących wyraźne zjawisko płynięcia po osiągnięciu ReH naprężenie może spaść, a następnie materiał odkształca się plastycznie przy niższym poziomie naprężenia.

Górna i dolna granica plastyczności

ReH jest związana z górnym poziomem naprężenia przy rozpoczęciu wyraźnego płynięcia materiału. Następnie może wystąpić spadek naprężenia i obszar związany z dolną granicą plastyczności ReL. Jeżeli obie wartości są wyraźnie określone, zazwyczaj: ReH > ReL Takie zachowanie występuje między innymi w niektórych stalach niskowęglowych, ale nie jest charakterystyczne dla wszystkich metali.

Dlaczego nie każdy materiał ma wyraźne Re?

W wielu metalach przejście od zachowania sprężystego do plastycznego jest płynne. Na wykresie nie występuje wtedy jednoznaczny punkt odpowiadający wyraźnej granicy plastyczności. Dotyczy to między innymi wielu stali nierdzewnych, stopów aluminium, stopów niklu i innych materiałów. W takich przypadkach stosuje się parametry umowne, przede wszystkim Rp0,2.

Umowna granica plastyczności Rp0,2 na wykresie

Rp0,2 odpowiada naprężeniu określonemu dla kryterium 0,2% odkształcenia plastycznego. Do jego wyznaczenia wykorzystuje się linię przesuniętą na osi odkształcenia o: ε = 0,002 = 0,2% i równoległą do odpowiednio określonej części liniowo-sprężystej. Punkt przecięcia tej linii z krzywą pozwala wyznaczyć wartość Rp0,2. Rp0,2 nie oznacza naprężenia powodującego 0,2% całkowitego odkształcenia próbki. Odnosi się do umownie określonego odkształcenia plastycznego.

Co dzieje się po rozpoczęciu odkształcenia plastycznego?

Po przekroczeniu zakresu sprężystego w materiale zachodzą trwałe zmiany. W wielu metalach dalsze odkształcenie powoduje umocnienie odkształceniowe. Oznacza to, że do kontynuowania plastycznego odkształcenia wymagany jest coraz większy poziom naprężenia. Na krzywej inżynierskiej obserwuje się wtedy ponowny wzrost naprężenia.

Umocnienie odkształceniowe

Umocnienie odkształceniowe jest związane przede wszystkim ze zmianami struktury dyslokacyjnej podczas deformacji plastycznej. Wraz ze wzrostem odkształcenia ruch kolejnych dyslokacji staje się trudniejszy. W praktyce zjawisko to jest wykorzystywane podczas:

walcowania na zimno,
ciągnienia,
tłoczenia,
gięcia,
innych procesów obróbki plastycznej na zimno.

Umocnienie zwiększa odporność materiału na dalsze odkształcenie plastyczne, ale zwykle wpływa również na jego pozostałą zdolność do dalszej deformacji.

Wytrzymałość na rozciąganie Rm na krzywej

Wraz z dalszym odkształcaniem próbki siła rośnie aż do osiągnięcia wartości maksymalnej: F_m Wytrzymałość na rozciąganie wynosi: Rm = F_m/S₀ Na inżynierskiej krzywej naprężenie–odkształcenie Rm odpowiada jej maksymalnej wartości naprężenia.

Rm nie jest naprężeniem przy zerwaniu

Jednym z częstych błędów jest traktowanie Rm jako naprężenia występującego dokładnie w chwili zerwania próbki. Rm odpowiada maksymalnej sile F_m odniesionej do początkowego pola przekroju S₀. W przypadku typowego materiału ciągliwego po osiągnięciu F_m rozpoczyna się lokalizacja odkształcenia i powstawanie przewężenia. Próbka może zerwać się dopiero później, przy mniejszej całkowitej sile.

Początek przewężenia

Do osiągnięcia maksymalnej siły odkształcenie części pomiarowej próbki może pozostawać względnie równomierne. Po osiągnięciu odpowiedniego stanu umocnienie materiału przestaje kompensować efekt zmniejszania przekroju i odkształcenie zaczyna lokalizować się w jednym obszarze. Powstaje przewężenie, czyli szyjka. Przekrój w tym miejscu szybko maleje, a dalsza deformacja koncentruje się przede wszystkim w obszarze przewężenia.

Dlaczego krzywa inżynierska spada po Rm?

Po rozpoczęciu przewężenia całkowita siła potrzebna do dalszego odkształcania próbki zaczyna zwykle maleć. Naprężenie inżynierskie jest jednak przez cały czas obliczane według wzoru: σ = F/S₀ czyli z wykorzystaniem początkowego, a nie aktualnego pola przekroju. W rezultacie na inżynierskiej krzywej naprężenie–odkształcenie po osiągnięciu Rm obserwuje się spadek naprężenia aż do zerwania próbki.

Czy materiał rzeczywiście staje się słabszy po Rm?

Spadek naprężenia inżynierskiego po Rm nie oznacza po prostu, że materiał w przewężeniu traci zdolność do przenoszenia lokalnego naprężenia. W obszarze szyjki przekrój bardzo szybko się zmniejsza, a stan naprężenia przestaje być prostym jednorodnym stanem jednoosiowym. Dlatego do dokładnej analizy dużych odkształceń potrzebne są naprężenia i odkształcenia rzeczywiste oraz – po rozpoczęciu przewężenia – uwzględnienie niejednorodności i wieloosiowości stanu naprężenia.

Naprężenie inżynierskie i rzeczywiste

Krzywa inżynierska wykorzystuje początkowe pole przekroju: σ_eng = F/S₀ Naprężenie rzeczywiste odnosi siłę do aktualnego pola przekroju: σ_true = F/S gdzie S oznacza aktualne pole przekroju próbki. Wraz ze zmniejszaniem przekroju różnica pomiędzy tymi wartościami staje się coraz większa.

Odkształcenie inżynierskie i rzeczywiste

Odkształcenie inżynierskie wynosi: ε_eng = (L – L₀)/L₀ Odkształcenie rzeczywiste dla jednorodnego jednoosiowego wydłużania można zapisać jako: ε_true = ln(L/L₀) Przed rozpoczęciem przewężenia, przy odpowiednich założeniach, pomiędzy odkształceniem inżynierskim i rzeczywistym zachodzi zależność: ε_true = ln(1 + ε_eng)

Zależność naprężenia rzeczywistego i inżynierskiego

Przed rozpoczęciem przewężenia, przy jednorodnym odkształceniu i przybliżeniu zachowania objętości podczas odkształcenia plastycznego, można stosować zależność: σ_true = σ_eng(1 + ε_eng) Po rozpoczęciu przewężenia zależność ta nie opisuje już prawidłowo lokalnego stanu w szyjce, ponieważ odkształcenie staje się niejednorodne i pojawia się bardziej złożony stan naprężenia.

Krzywa inżynierska a rzeczywista

Cecha	Krzywa inżynierska	Krzywa rzeczywista
Pole przekroju	Początkowe S₀	Aktualne S
Naprężenie	F/S₀	F/S
Odkształcenie	ΔL/L₀	ln(L/L₀) dla jednorodnego rozciągania
Zastosowanie	Standardowe parametry materiałowe i dokumentacja	Analiza dużych odkształceń i modelowanie materiału

Dlaczego krzywa rzeczywista jest ważna?

Krzywa rzeczywista lepiej opisuje zachowanie materiału podczas dużych odkształceń plastycznych i jest szczególnie istotna w analizach procesów technologicznych oraz obliczeniach numerycznych. Stosuje się ją między innymi przy modelowaniu:

tłoczenia,
walcowania,
kucia,
wyciskania,
gięcia,
formowania blach,
procesów analizowanych metodą elementów skończonych.

Krzywa płynięcia materiału

W zakresie plastycznym zależność pomiędzy naprężeniem rzeczywistym a odkształceniem plastycznym może być opisywana za pomocą modeli konstytutywnych. Jednym z prostych modeli umocnienia jest prawo potęgowe: σ = Kε_pⁿ gdzie:

K – współczynnik wytrzymałościowy,
ε_p – odpowiednio zdefiniowane rzeczywiste odkształcenie plastyczne,
n – wykładnik umocnienia.

Model taki obowiązuje tylko w określonym zakresie i nie powinien być traktowany jako uniwersalny opis wszystkich metali oraz całego przebiegu próby.

Wykładnik umocnienia n

Wykładnik umocnienia n opisuje zdolność materiału do zwiększania naprężenia płynięcia wraz ze wzrostem odkształcenia plastycznego. Wysoka zdolność do umocnienia może sprzyjać bardziej równomiernemu rozkładowi odkształcenia przed lokalizacją, co ma znaczenie między innymi podczas kształtowania blach. Nie należy jednak traktować n jako bezpośredniego zamiennika wydłużenia A ani innych parametrów plastyczności.

Warunek rozpoczęcia przewężenia

Dla idealizowanego jednoosiowego rozciągania i odpowiednio zdefiniowanej krzywej rzeczywistej początek rozproszonego przewężenia można analizować za pomocą kryterium Considère’a: dσ_true/dε_true = σ_true Warunek ten pokazuje konkurencję pomiędzy umocnieniem materiału a zmniejszaniem przekroju próbki. Gdy zdolność do dalszego umocnienia nie kompensuje już wpływu redukcji przekroju, odkształcenie zaczyna się lokalizować.

Wydłużenie równomierne

Przed powstaniem wyraźnego przewężenia odkształcenie rozkłada się względnie równomiernie w części pomiarowej próbki. Wielkości związane z wydłużeniem przy maksymalnej sile mogą służyć do opisu tego etapu. Po rozpoczęciu przewężenia znaczna część dalszego odkształcenia koncentruje się lokalnie w szyjce.

Wydłużenie po zerwaniu A

Po zerwaniu próbki określa się końcową długość pomiarową L_u i oblicza: A = [(L_u – L₀)/L₀] × 100% A jest wydłużeniem procentowym po zerwaniu. Nie należy utożsamiać go z dowolnym odkształceniem odczytanym z osi poziomej wykresu podczas próby.

Przewężenie Z

Po zerwaniu można również określić: Z = [(S₀ – S_u)/S₀] × 100% gdzie S_u jest minimalnym polem przekroju po zerwaniu. Parametr Z opisuje lokalne zmniejszenie przekroju i stanowi inną miarę plastyczności niż A.

Krzywa materiału z wyraźną granicą plastyczności

Dla materiału wykazującego wyraźne zjawisko płynięcia charakterystyczny przebieg może obejmować: zakres sprężysty → ReH → spadek naprężenia → ReL i obszar płynięcia → umocnienie → Rm → przewężenie → zerwanie. Taki przebieg jest charakterystyczny między innymi dla części stali niskowęglowych w określonych stanach materiału.

Krzywa materiału bez wyraźnej granicy plastyczności

W wielu stopach przejście od zachowania sprężystego do plastycznego jest płynne. Nie występują wtedy charakterystyczne ReH i ReL. Przebieg można uprościć do postaci: zakres sprężysty → płynne rozpoczęcie odkształcenia plastycznego → Rp0,2 → umocnienie → Rm → przewężenie → zerwanie. Właśnie dla takich materiałów szczególnie przydatne są umowne granice plastyczności.

Krzywa materiału kruchego

Materiał kruchy wykazuje znacznie mniejszy zakres odkształcenia plastycznego przed pęknięciem. Krzywa może przebiegać przede wszystkim przez zakres sprężysty, po którym następuje zniszczenie przy stosunkowo niewielkim odkształceniu. W takim przypadku nie obserwuje się rozległego przewężenia charakterystycznego dla materiałów ciągliwych.

Materiał ciągliwy a kruchy

Cecha	Materiał ciągliwy	Materiał kruchy
Odkształcenie plastyczne przed pęknięciem	Zwykle znaczne	Zwykle małe
Przewężenie	Często wyraźne	Zwykle niewielkie lub brak wyraźnego przewężenia
Obszar plastyczny na wykresie	Rozbudowany	Ograniczony
Zerwanie	Po znacznym odkształceniu w typowym przypadku	Przy niewielkim odkształceniu plastycznym w typowym przypadku

Pole pod krzywą naprężenie–odkształcenie

Pole pod krzywą ma znaczenie energetyczne. W odpowiednich warunkach całka z naprężenia względem odkształcenia opisuje pracę odkształcenia przypadającą na jednostkę objętości. Pole pod częścią sprężystą jest związane z energią sprężystą magazynowaną przez materiał, natomiast całkowite pole do zniszczenia może być używane do opisu energii pochłoniętej w jednoosiowym teście. Nie należy jednak utożsamiać tej wielkości z udarnością Charpy’ego, ponieważ próba Charpy’ego wykorzystuje inną geometrię, karb i dynamiczny sposób obciążenia.

Energia odkształcenia sprężystego

Dla idealnego liniowo-sprężystego jednoosiowego przypadku energia sprężysta na jednostkę objętości wynosi: u = 1/2 σε = σ²/(2E) Wielkość ta opisuje energię zgromadzoną w materiale wskutek sprężystego odkształcenia i możliwą do odzyskania przy idealnym sprężystym odciążeniu.

Co dzieje się podczas odciążania po odkształceniu plastycznym?

Jeżeli próbkę odciąży się po wejściu w zakres plastyczny, część odkształcenia sprężystego zostanie odzyskana, ale pozostanie odkształcenie trwałe. W prostym przybliżeniu początkowa droga odciążenia ma nachylenie związane z modułem sprężystości materiału. Po całkowitym usunięciu naprężenia punkt na osi odkształcenia nie wraca do zera, lecz pozostaje przesunięty o wartość trwałego odkształcenia plastycznego.

Krzywa naprężenie–odkształcenie a temperatura

Temperatura może znacząco zmieniać przebieg krzywej. Dla wielu metali wzrost temperatury powoduje:

zmniejszenie modułu Younga,
zmniejszenie granicy plastyczności,
zmniejszenie wytrzymałości,
zmianę zdolności do odkształcenia plastycznego.

Dokładny efekt zależy od materiału, mikrostruktury, zakresu temperatury i prędkości odkształcenia.

Wpływ prędkości odkształcenia

Krzywa naprężenie–odkształcenie nie musi być identyczna przy różnych prędkościach prowadzenia próby. Wiele metali wykazuje wrażliwość na prędkość odkształcenia. Zmiana szybkości deformacji może wpływać na granicę plastyczności, naprężenie płynięcia, Rm i zdolność do odkształcenia. Właśnie dlatego warunki prowadzenia statycznej próby rozciągania są standaryzowane.

Wpływ obróbki na zimno

Obróbka plastyczna na zimno przesuwa stan materiału w kierunku większego umocnienia. W wyniku walcowania, ciągnienia lub innych procesów mogą wzrosnąć:

Jednocześnie zwykle zmniejsza się dostępna zdolność do dalszego odkształcenia plastycznego. Na krzywej zmienia się więc zarówno poziom naprężenia, jak i długość zakresu plastycznego.

Wpływ obróbki cieplnej

Obróbka cieplna może zasadniczo zmienić kształt krzywej naprężenie–odkształcenie poprzez zmianę mikrostruktury materiału. Hartowanie, odpuszczanie, wyżarzanie, przesycanie czy starzenie mogą wpływać na:

Re lub Rp0,2,
Rm,
A,
Z,
charakter umocnienia,
mechanizm pękania.

Dlatego sam gatunek materiału nie wystarcza do jednoznacznego określenia przebiegu krzywej – istotny jest również jego stan dostawy i historia technologiczna.

Dlaczego dwie stale o podobnym E mogą mieć zupełnie inne krzywe?

Moduł Younga zależy przede wszystkim od charakteru wiązań atomowych i struktury sprężystej materiału, natomiast granica plastyczności i Rm są silnie związane z mechanizmami utrudniającymi ruch dyslokacji. Dlatego stale o podobnym E mogą mieć bardzo różne:

Re,
Rp0,2,
Rm,
A,
Z.

Na wykresie ich początkowe nachylenie może być podobne, natomiast dalszy przebieg może znacząco się różnić.

Co można odczytać z krzywej naprężenie–odkształcenie?

W zależności od materiału, sposobu badania i zastosowanych metod pomiarowych z wykresu lub danych źródłowych próby można określić lub analizować między innymi:

zakres zachowania sprężystego,
moduł Younga E, jeżeli został prawidłowo wyznaczony,
ReH i ReL, jeżeli występują,
Rp0,2 lub inne umowne parametry plastyczności,
Rm,
początek lokalizacji odkształcenia,
zdolność materiału do umocnienia,
zachowanie materiału przed zerwaniem.

Nie wszystkie właściwości mechaniczne można jednak odczytać bezpośrednio z samego wykresu. Na przykład A i Z są określane według odpowiednich procedur i wymagają właściwych pomiarów próbki.

Krzywa naprężenie–odkształcenie a świadectwo 3.1

W świadectwie odbioru 3.1 najczęściej podawane są wybrane wartości liczbowe uzyskane podczas badań, takie jak:

ReH lub ReL,
Rp0,2,
Rm,
A.

Pełna krzywa naprężenie–odkształcenie nie jest standardowo elementem każdego świadectwa 3.1. Jej dostępność zależy od zakresu badań, wymagań zamówienia i dokumentacji laboratorium.

Najczęstsze błędy przy interpretacji krzywej naprężenie–odkształcenie

Do najczęstszych błędów należą:

traktowanie Rm jako naprężenia w chwili zerwania,
utożsamianie Re z Rp0,2,
uznawanie Rp0,2 za 0,2% całkowitego odkształcenia,
utożsamianie modułu Younga z wytrzymałością,
traktowanie spadku krzywej po Rm jako prostego spadku lokalnego naprężenia rzeczywistego,
stosowanie wzorów przeliczeniowych pomiędzy krzywą inżynierską i rzeczywistą również po rozpoczęciu przewężenia bez uwzględnienia ich ograniczeń,
porównywanie krzywych wykonanych w różnych temperaturach lub przy różnych prędkościach odkształcenia bez uwzględnienia warunków badania,
traktowanie A jako dowolnego końcowego odkształcenia odczytanego bezpośrednio z wykresu.

Krzywa naprężenie–odkształcenie – najważniejsze informacje

Krzywa przedstawia zależność pomiędzy naprężeniem σ i odkształceniem ε.
Krzywa inżynierska wykorzystuje początkowe pole przekroju S₀.
W zakresie liniowo-sprężystym obowiązuje zależność σ = Eε.
Nachylenie liniowo-sprężystej części krzywej jest związane z modułem Younga E.
Po przekroczeniu zakresu sprężystego pojawia się trwałe odkształcenie plastyczne.
Niektóre materiały wykazują ReH i ReL, natomiast dla materiałów bez wyraźnej granicy plastyczności stosuje się między innymi Rp0,2.
Po rozpoczęciu odkształcenia plastycznego wiele metali wykazuje umocnienie odkształceniowe.
Rm jest maksymalnym naprężeniem inżynierskim i odpowiada maksymalnej sile F_m.
Rm nie jest z definicji naprężeniem występującym w chwili zerwania.
Po osiągnięciu maksymalnej siły w typowym materiale ciągliwym rozpoczyna się lokalizacja odkształcenia i przewężenie.
Spadek krzywej inżynierskiej po Rm wynika między innymi ze sposobu definiowania naprężenia względem początkowego przekroju i spadku całkowitej siły po lokalizacji odkształcenia.
Naprężenie rzeczywiste odnosi siłę do aktualnego pola przekroju.
Proste zależności pomiędzy krzywą inżynierską i rzeczywistą obowiązują tylko w odpowiednim zakresie, przede wszystkim przed lokalizacją odkształcenia.
Pole pod krzywą ma znaczenie energetyczne, ale nie jest tym samym co wynik próby udarności Charpy’ego.
Kształt krzywej zależy od materiału, mikrostruktury, temperatury, prędkości odkształcenia i stanu obróbki.