Współczynnik Poissona ν – definicja, wzór, wartości i znaczenie

Współczynnik Poissona ν jest jedną z podstawowych wielkości opisujących sprężyste właściwości materiałów. Określa zależność pomiędzy odkształceniem poprzecznym a odkształceniem podłużnym materiału podczas jednoosiowego rozciągania lub ściskania w zakresie sprężystym.
Gdy próbka jest rozciągana, jej długość zwiększa się, natomiast wymiary poprzeczne zazwyczaj się zmniejszają. Podczas ściskania występuje zjawisko odwrotne – próbka skraca się, a jej wymiary poprzeczne zazwyczaj rosną. Współczynnik Poissona opisuje relację pomiędzy tymi zmianami wymiarów.
Współczynnik Poissona oznaczany jest grecką literą ν (nu) i jest wielkością bezwymiarową.

Co oznacza współczynnik Poissona?

Podczas jednoosiowego rozciągania materiał ulega odkształceniu w kierunku działania siły. Jednocześnie występuje odkształcenie w kierunku poprzecznym.
Jeżeli pręt jest rozciągany wzdłuż swojej osi:

jego długość zwiększa się,
jego szerokość lub średnica zazwyczaj się zmniejsza.

Współczynnik Poissona określa stosunek tych dwóch odkształceń w zakresie sprężystym.

Wzór na współczynnik Poissona

Współczynnik Poissona można zapisać jako:
ν = -ε_poprzeczne / ε_podłużne
gdzie:

ν – współczynnik Poissona,
ε_poprzeczne – odkształcenie względne w kierunku poprzecznym,
ε_podłużne – odkształcenie względne w kierunku działania obciążenia.

Znak minus wynika z tego, że podczas typowego rozciągania odkształcenie podłużne jest dodatnie, natomiast poprzeczne jest ujemne.
Dzięki zastosowaniu znaku minus współczynnik Poissona dla większości typowych metali przyjmuje wartość dodatnią.

Przykład obliczenia współczynnika Poissona

Załóżmy, że podczas rozciągania próbki jej odkształcenie podłużne wynosi:
ε_podłużne = 0,001
natomiast odkształcenie poprzeczne:
ε_poprzeczne = -0,0003
Współczynnik Poissona wynosi:
ν = -(-0,0003 / 0,001) = 0,30
Oznacza to, że stosunek bezwzględnej wartości odkształcenia poprzecznego do podłużnego wynosi w tym przypadku 0,30.

Czy współczynnik Poissona ma jednostkę?

Współczynnik Poissona nie ma jednostki.
Zarówno odkształcenie poprzeczne, jak i podłużne są wielkościami względnymi, dlatego ich iloraz jest bezwymiarowy.
Nie podaje się więc ν w MPa, GPa ani procentach.
Przykładowy zapis ma postać:
ν = 0,30

Typowe wartości współczynnika Poissona dla metali

Dla wielu metali wartość współczynnika Poissona w temperaturze pokojowej mieści się w przybliżeniu w zakresie 0,25–0,35. Dokładna wartość zależy jednak od materiału, jego struktury, kierunku pomiaru, temperatury oraz zastosowanej metody badawczej.

Materiał	Orientacyjny współczynnik Poissona ν
Stale węglowe i stopowe	około 0,27–0,30
Stale nierdzewne	około 0,27–0,31
Aluminium i jego stopy	około 0,32–0,35
Tytan i jego stopy	około 0,30–0,35
Miedź i jej stopy	około 0,30–0,35
Nikiel i jego stopy	około 0,29–0,32

Wartości w tabeli mają charakter orientacyjny. Do obliczeń konstrukcyjnych należy stosować dane właściwe dla konkretnego materiału, temperatury i stanu.

Co fizycznie oznacza ν = 0,30?

Wartość:
ν = 0,30
oznacza, że w zakresie sprężystym bezwzględna wartość odkształcenia poprzecznego stanowi około 30% odkształcenia podłużnego podczas jednoosiowego obciążenia.
Jeżeli odkształcenie podłużne wynosi:
ε = 0,1%
to przy ν = 0,30 odkształcenie poprzeczne wyniesie w przybliżeniu:
ε_poprzeczne = -0,03%
Znak minus oznacza zmniejszenie wymiaru poprzecznego podczas rozciągania.

Współczynnik Poissona podczas ściskania

Zależność działa również podczas sprężystego ściskania.
Jeżeli próbka jest ściskana wzdłuż swojej osi:

jej długość maleje,
wymiary poprzeczne zazwyczaj rosną.

Współczynnik Poissona opisuje również relację pomiędzy tymi odkształceniami, pod warunkiem że materiał znajduje się w odpowiednim zakresie sprężystym.

Współczynnik Poissona a moduł Younga E

Współczynnik Poissona ν i moduł Younga E opisują różne właściwości sprężyste materiału.

Parametr	Co opisuje	Jednostka
E	Zależność pomiędzy naprężeniem i odkształceniem podłużnym w zakresie liniowo-sprężystym	GPa
ν	Relację pomiędzy odkształceniem poprzecznym i podłużnym	bez jednostki

Moduł Younga określa przede wszystkim sztywność materiału przy rozciąganiu lub ściskaniu, natomiast współczynnik Poissona określa sposób, w jaki odkształceniu podłużnemu towarzyszy zmiana wymiarów poprzecznych.

Współczynnik Poissona a moduł Kirchhoffa G

Dla jednorodnego, izotropowego materiału liniowo-sprężystego współczynnik Poissona jest związany z modułem Younga E i modułem Kirchhoffa G zależnością:
G = E / (2(1 + ν))
Zależność można również przekształcić do postaci:
ν = E / (2G) – 1
gdzie:

E – moduł Younga,
G – moduł Kirchhoffa, czyli moduł ścinania,
ν – współczynnik Poissona.

Oznacza to, że dla izotropowego materiału liniowo-sprężystego znajomość dwóch z tych parametrów pozwala wyznaczyć trzeci.

Przykład zależności E, G i ν dla stali

Przyjmijmy orientacyjnie:
E = 210 GPa
oraz:
ν = 0,30
Wówczas:
G = 210 / (2 × (1 + 0,30))
G = 210 / 2,6 ≈ 80,8 GPa
Otrzymana wartość odpowiada typowemu rzędowi wielkości modułu ścinania dla stali.

Współczynnik Poissona a zmiana objętości

Współczynnik Poissona jest związany również ze zmianą objętości materiału podczas odkształcenia sprężystego.
Dla izotropowego materiału liniowo-sprężystego wartość ν zbliżająca się do 0,5 oznacza zachowanie zbliżone do nieściśliwego, czyli bardzo małą zmianę objętości podczas odkształcenia.
Typowe metale w zakresie sprężystym mają wartości ν wyraźnie mniejsze od 0,5.

Jakie wartości może przyjmować współczynnik Poissona?

Dla stabilnego, jednorodnego i izotropowego materiału opisywanego klasyczną liniową teorią sprężystości współczynnik Poissona mieści się w zakresie:
-1 < ν < 0,5
Większość typowych metali ma dodatni współczynnik Poissona wynoszący około 0,3.
Istnieją jednak materiały o ujemnym współczynniku Poissona, określane jako materiały auksetyczne.

Co to są materiały auksetyczne?

Materiały auksetyczne charakteryzują się ujemnym współczynnikiem Poissona.
Oznacza to nietypowe zachowanie: podczas rozciągania mogą zwiększać wymiar poprzeczny zamiast go zmniejszać, a podczas ściskania mogą zwężać się w kierunku poprzecznym.
Takie właściwości mogą wynikać między innymi ze specyficznej mikrostruktury lub geometrii materiału.
Typowe stale i większość konwencjonalnych metali nie wykazują takiego makroskopowego zachowania w standardowych warunkach.

Współczynnik Poissona a moduł objętościowy K

Współczynnik Poissona jest również powiązany z modułem objętościowym K, który opisuje odporność materiału na sprężystą zmianę objętości.
Dla materiału izotropowego:
K = E / (3(1 – 2ν))
gdzie:

K – moduł objętościowy,
E – moduł Younga,
ν – współczynnik Poissona.

Wraz ze zbliżaniem się ν do 0,5 moduł objętościowy rośnie w stosunku do E, co odpowiada coraz mniejszej podatności materiału na zmianę objętości.

Współczynnik Poissona a wytrzymałość materiału

ν nie jest miarą wytrzymałości materiału.
Nie określa:

Dwa materiały mogą posiadać podobny współczynnik Poissona, a jednocześnie bardzo różne właściwości wytrzymałościowe.

Współczynnik Poissona a odkształcenie plastyczne

Klasyczna wartość współczynnika Poissona stosowana w obliczeniach materiałowych odnosi się przede wszystkim do zakresu sprężystego.
Po wejściu materiału w zakres dużych odkształceń plastycznych jego zachowania nie należy opisywać prostym zastosowaniem stałej wartości ν pochodzącej z liniowej teorii sprężystości.
W analizach plastycznych stosowane są odpowiednie modele konstytutywne opisujące zachowanie materiału poza zakresem sprężystym.

Od czego zależy współczynnik Poissona?

Wartość ν zależy między innymi od:

rodzaju materiału i jego struktury,
temperatury,
kierunku pomiaru w materiałach anizotropowych,
częstotliwości obciążenia w określonych metodach dynamicznych,
warunków przeprowadzenia pomiaru.

Dla wielu typowych metali zmiany ν wynikające ze standardowej obróbki cieplnej są znacznie mniejsze niż zmiany parametrów takich jak Rm, Re czy Rp0,2.

Współczynnik Poissona a temperatura

Współczynnik Poissona może zmieniać się wraz z temperaturą.
W zastosowaniach wymagających dokładnych obliczeń, szczególnie w wysokich lub bardzo niskich temperaturach, należy korzystać z danych materiałowych określonych dla właściwego zakresu temperatur.
Nie należy automatycznie przyjmować wartości ν określonej w temperaturze pokojowej dla wszystkich warunków eksploatacji.

Współczynnik Poissona w materiałach anizotropowych

W materiale idealnie izotropowym można stosować jedną wartość współczynnika Poissona do opisu jego sprężystego zachowania.
W materiałach anizotropowych sytuacja jest bardziej złożona. Odkształcenie poprzeczne może zależeć od kierunku przyłożenia obciążenia oraz kierunku, w którym jest mierzone.
W takich przypadkach mogą występować różne współczynniki Poissona związane z poszczególnymi kierunkami materiału.
Ma to znaczenie między innymi dla monokryształów, materiałów o silnej teksturze oraz kompozytów.

Jak wyznacza się współczynnik Poissona?

Współczynnik Poissona można wyznaczać podczas kontrolowanego obciążania próbki poprzez jednoczesny pomiar odkształcenia podłużnego i poprzecznego.
Do pomiarów mogą być stosowane między innymi:

ekstensometry,
tensometry elektrooporowe,
optyczne systemy pomiaru odkształceń,
metody dynamiczne wykorzystujące właściwości fal sprężystych.

Dobór metody zależy od materiału, wymaganej dokładności i warunków badania.

Dlaczego współczynnik Poissona jest ważny?

Współczynnik Poissona jest wykorzystywany w mechanice materiałów i obliczeniach konstrukcyjnych, ponieważ obciążenie w jednym kierunku powoduje również odkształcenia w kierunkach poprzecznych.
Parametr ν ma znaczenie między innymi przy:

analizie stanu naprężenia i odkształcenia,
obliczeniach elementów konstrukcyjnych,
analizie kontaktowej,
obliczeniach ciśnieniowych,
analizie deformacji trójwymiarowych,
modelowaniu metodą elementów skończonych MES/FEM,
wyznaczaniu zależności pomiędzy stałymi sprężystości materiału.

W programach MES współczynnik Poissona jest często podawany razem z modułem Younga jako podstawowy zestaw danych definiujących liniowo-sprężyste zachowanie materiału izotropowego.

Czy większy współczynnik Poissona oznacza lepszy materiał?

Nie. Współczynnik Poissona nie jest parametrem jakościowym.
Większa lub mniejsza wartość ν oznacza inny stosunek odkształcenia poprzecznego do podłużnego. Nie pozwala natomiast stwierdzić, że materiał jest mocniejszy, twardszy, bardziej plastyczny lub bardziej odporny na uszkodzenie.
Wartość ν należy traktować jako jedną ze stałych opisujących sprężyste zachowanie materiału.

Współczynnik Poissona ν – najważniejsze informacje

ν oznacza współczynnik Poissona.
Opisuje stosunek odkształcenia poprzecznego do podłużnego w zakresie sprężystym.
Wzór ma postać ν = -ε_poprzeczne / ε_podłużne.
Współczynnik Poissona jest bezwymiarowy.
Dla wielu metali ν wynosi w przybliżeniu około 0,3.
Podczas rozciągania typowy metal wydłuża się w kierunku obciążenia i zwęża w kierunku poprzecznym.
ν nie jest miarą wytrzymałości, twardości ani granicy plastyczności.
Dla izotropowego materiału liniowo-sprężystego ν jest matematycznie powiązany z modułem Younga E i modułem Kirchhoffa G.
Zależność pomiędzy E, G i ν ma postać G = E / (2(1 + ν)).
Wartości ν bliskie 0,5 odpowiadają zachowaniu zbliżonemu do nieściśliwego.
Materiały o ujemnym współczynniku Poissona nazywane są materiałami auksetycznymi.
W materiałach anizotropowych współczynnik Poissona może zależeć od kierunku.
W obliczeniach MES współczynnik Poissona jest często stosowany razem z modułem Younga.